Пусть Х,У – банаховы пространства и b(X,Y) – пространство линейных ограниченных операторов.
Определение: Оператор А из b называется вполне непрерывным если для любого ограниченного множества М из Х образ А(М) является относительным компактом в У.
Таким образом вполне непрерывный оператор является непрерывным оператором и переводит каждое ограниченное множество в относительно компактное.
Теорема1: Если Х и У – конечномерное пространство, то любой ограниченный оператор из b является вполне непрерывным.
Теорема2: Пусть пространства Х и У бесконечномерны(dimX=dimY=+inf) и линейный ограниченный оператор А из b обратим, т.е. существует оператор A^-1. Тогда А не является вполне непрерывным.
Теорема3: Пусть операторы A B из b – вполне непрерывны. Тогда оператор cA+kB из X в Y – вполне непрерывный.
Теорема4: Пусть последовательность вполне непрерывных операторов в [An] из b сходится по операторной норме т.е. ||An-A0||->0 При n->inf, т.е. A0=lim(n->inf)An. Тогда А0 вполне непрерывный оператор.
