Оператор А является ограниченным если имеет место для любого элемента неравенство ||Ax||<C||x||. Константа не должна зависеть от элемента х т.е. является одной и той же для всех элементов пространства. Кроме того при выполнении этого неравенства т.е. при ограниченности оператор А является непрерывным. Постановка задачи о наилучшей константе в неравенстве приводит к понятию нормы линейного оператора. Норма – неотрицательная числовая характеристика оператора, определяемая ||A||=sup||Ax||/||x||.
Из определения нормы следует выполнение неравенства ||Ax||<=||A|| ||x||
Удобство этого неравенства состоит в том, что сравнивая неравенства мы можем утверждать, что норма оператора не превосходит ||A||<=C И характеризует норму как неуменьшаемую константу. Из определения нормы следует, что для ее вычисления вместе с формулой можно применить одно из следующих равенств: ||A||=sup||Ax||=sup||Ax|| При ||x||<=1 и ||x||=1 соответственно. В некоторых случаях это удобно для вычисления или оценки нормы. Теперь sup берется не для всех элементов пространства а на шаре ||x||<=1 или единичной сфере.
Для вычисления можно использовать 2 алгоритма:
- сначала для данного оператора установить неравенство с определенной константой, тем самым это неравенство выступит как оценка нормы. А затем перейти к равенству ||A||=C, Т.е. найденная нами константа является точным значением нормы.
- Если первый алгоритм трудно реализуем, то если существует такая последовательность элементов ||xn||=1 для которых справедливо равенство C=lim(n->inf) ||Axn|| то отсюда следует, что ||A||=C. На практике нахождение точного значения нормы оказывается труднореализуемой задачей. В таком случае ограничиваются оценкой нормы.
