Теорема Хаусдорфа в пространстве C[a,b] не применима. На отрезке функций с макс нормой используется критерий компактности Арцела(теорема Арцела)
Теорема: Множество М компактно в С[a,b] тогда и только тогда, когда это множество равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Определение: Функиця [a,b] удовлетворяет условию Липшица с константой е если для любого t1t2 выполняется условие |x(t1)-x(t2)|<=e|t1-t2|. Очевидно, что любая функция удовлетворяющая этому условию является непрерывной.
Так же если функция на этом отрезке имеет непрерывную производную, тогдафункция удовлетворяет условию Липшица(по теореме Лагранжа ∫(x+Δx)-f(x)=f’(q)Δx; x(t1)-x(t2)=x’(q)|t1-t2|)
Таким образом через k=max|x’(q)| получаем условие Липшица. Обратное неверно.
Выполнена теорема(достаточное условие относительной компактности в [a,b]), пусть множество функций М из С удовлетворяет условиям:
1) существование m>0 такая, что выполнено неравенство |(x(t)|<=m при t из [a,b] Равномерная ограниченность.
2) Все функции множества М удовлетворяют условию Липшица с одной и той же константой. Тогда множество М- относительно компактно в C[a,b]. Равностепенная непрерывность
