Рассмотрим пример неполного пр-ва. С[-1,1] Это пространство полное относительно макс. Нормы, но относительно интегральной нормы – не полное. Для доказательства достаточно построить последовательность функций которая фундоментальна по интегральной норме и не сходится.[xn] из С[-1,1] такая, что xn(t)=1, t(1/n;1); =-1, t[-1;-1/n]; =nt, t[-1/n;1/n]
Последнюю функцию можно предствить в виде sign t. Покажем, что последовательность фундоментальна:
Для этого при произвольных фиксированных n,p рассмотрим выражение:
||xn+p-xn||= интегралу(-1,1)|xn+p-xn|dt. Разобьем модули. получим, что интеграл на симметричной части равен нулю и рассмотрим интеграл от -1/n до 1/n. И получим, что правая часть не зависит от P т.к. при n-> inf правая часть стремится к нулю, а значит и левая часть стремится к нулю. Данная последовательность фундоментальна, но не сходится по интегральной норме. Т.к. по точным пределам последовательность является разрывной функцией. А значит пространство не полное. Для общего вида нужно показать что эти нормы не эквивалентны, а значит не существуют константы при которых будет справедливо двойное неравенство. Для этого достаточно построить такую последовательность, которая по одной норме будет равна единице, а по другой норме будет равна нулю. При n->inf
