X- ЛНП с нормой ||*||. Если х,у из Х, то величина ||x-y|| выступает как расстояние от х до у.
Подмножество элементов х1,х2… хn из Х – последовательность элементов. [xi]
Определение1: [xi] сходится к элементу х0 из Х, если числовая последовательность ||xn-x0|| -> 0 при n->inf. Или lim(n->inf)xn=x0 так называемая фактическая сходимость.
Определение:2(на языке епсилон): Для любого e>0 существует N=N(e) такой, что для всех последующих номеров n>=N выполняется ||xn-x0||
Аналоги утверждений из числовых последовательностей:
- если последовательность сходится, то и любая подпоследовательность сходится
- Если две последовательности сходятся то сумма(разность) сходится к х0+(-)у0
Последовательность ограничена, если найдется такая константа, что ||xn||<=C при любом n.
Все члены огр. Последовательности оказываются ограничены по норме с одной константой. Так же из сходимости следует ограниченность, но не наоборот.
Определение3: Последовательность называется фундоментальной, если при любом е и любом фиксированном р существует N(e) такое, что для n>=N выполняется ||xn+p-xn||
Из сходимости следует фундоментальность. Обратное неверно.
Определение4: Если в нормированном пространстве Х всякая фундоментальная последовательность сходится, то оно называется полным(Банаховым)
