Пространство Х-нормированное если каждому элементу этого пространства поставлено в соответствие некоторое число(норма) обозначаемое ||x|| и выполняеся аксиомы:
- ||x||>=0; ||x||=0 ó x=Q
- ||cx||=|c|||x||
- ||x+y||<=||x||+||y||
Таким образом ЛНП это пара(с,||*||) в которой первая компонента – объект на котором определена норма, в качестве объекта(алгебраической структуры) выступает ЛП
Вторая компонента – определенная на ЛП норма, по определению изменение любой из компонент приводит к другому нормированному пр-ву.(могут быть определены разные нормы, и получаемые ЛНП)
Таким образом любое нормированное пространство является метрическим со специальное метрикой(d(x,y)=||x-y||) называемой порождаемой нормой. Обратное неверно(метрика для любого пр-ва, а норма для ЛП).
Из аксиом ЛНП можно установить, что алгебраические операции оказываются непрерывными по норме:
- cx непрерывно, т.к. при малом изменении значения скаляра мало изменяется значение нормы элемента.
- х+у . Малое изменение одного из слагаемых в сумме мало изменяет норму суммы(аксиома треугольника)
