Множество Х назовем линейным пространством над полем К, если для элементов множества определены операции:
- Суммирования: х,у из Х ->(х+у) из Х
- Умножение на скаляр: х из Х, с из К ->сx из Х
Эти операции не выводят за пределы множества Х.
Аксиому операций:
- х+у=у+х
- х+(у+z)=(x+y)+z
- x+Q=x, для любого Х
- Для произвольного ненулевого элемента х существует единственный элемент (–х) такой что х+(-х)=Q
- 1*х=х
- (c1+c2)x=c1x+c2x
- c(x+y)=cx+cy
- c1(c2x)=(c1c2)x
В зависимости от выбора поля скаляров пространство Х назовем действительным или комплексным. Все аксиомы выполняются даже для множества состоящего только из Q элемента. Q входит в любое пространство.
Х0 называется подпространством Х если для элементов Х0 выполняются аксиомы л.п.
Базисом называется линейно независимая комбинация элементов данной системы.
Конечно мерным(бесконечномерным) пространством называется пространство, если в нем существует базис который состоит из n-элементов(для любого n найдется базис).
