Поточечная и равномерная сходимость. Критерий Коши.

Пусть есть множество Z из E2, задана f(x,y) Z-прямоугольник Z: П=(a<x<b,c<y<d) X=[a,b], Y=[c,d] y0- предельная точка y.

Если для любого x из X существует конечный предел y->y0 от функции f(x,y), то будем говорить, что функция сходится поточечно к функции g(x) на множестве х при y->y0. Существует предел при y->y0 от f(x) =g(x)

ф-я f(x,y) сходится равномерно(2 стрелки) к g(x) на множестве x при y->y0 , тогда fn(x)=f(x,yn) сходится равномерно на Х к g(x) при yn->y0 из Y

Критерий коши:

Теорема 1: Пусть f(x,y) – интегрируема на [a,b] при любом y из Y

F(x,y) равномерно сходится(2 стрелки) на Х при y->y0 к g(x), тогда g(x) так же интегрируема на отрезке. Следовательно предел интеграла∫(f(x,y)dx=∫g(x)=∫limf(x,y)dx

Теорема 2: Если f(x,y) непрерывна по х на Х  и для любого y из Y

F(x,y) равномерно сходится к g(x) при любом y из Y, тогда g(x) непрерывна на [a,b]

Теорема 3: Пусть f(x,y) непрерывна по x на [a,b] для любого y фиксированного. При y->y0 фунция f(x,y) монотонно сходится к непрерывной предельной g(x), тогда f(x,y) сходится равномерно. Lim(y->y0)f(x,y)=g(x) =>f(x,y) две стрелочки g(x)

Теорема 4: Если для любого y из Y и функции от х: f(x,y), f’(x,y) – непрерывные на [a,b] и при y->y0 функция стремится к g(x), а f’(x,y) сходится равномерно при y->y0 на [a,b] к h(x), то g(x) дифференцируема на [a,b], причем g’(x)=h(x) или (limf(x,y))’=limf’(x,y)

Теорема 5: Пусть f(x,y) задана на прямоугольнике и непрерывная в нем. Тогда для любого y0 из [c,d] функция f(x,y) равномерно сходится на [a,b] при y->y0 к f(x,y0)