Пусть S- ориентированная поверхность ограниченная замкнутым контуром l. Выберем положительное направление обхода контура. Если граница состоит из нескольких замкнутых контуров, то для каждого из них направление определяется так же. Теорема: Пусть S- гладкая двустороння поверхность ограниченная гладким или кусочно гладким контуром L. Пусть в некоторой пространственной области содержащей поверхность phi определены функции PQR непрерывные вместе со своими частными производными 1 порядка. Тогда криволинейный интеграл: o∫Pdx+Qdy+Rdz=∫∫(dR/dy-dQ/dz)dydz+(dP/dz-dR/dx)dzdx+(dQ/dx-dP/dy)dxdy
Док-во: Предположим что S такая поверхность, что любая прямая U оси OZ пересекает ее в одной точке. L – граница поверхности. Положительное направление нормали. cosa=z’x/sqrt(1+z’x+z’y) cosb=z’y/sqrt(1+z’x+z’y) cosc=1/sqrt(1+z’x+z’y) Предположим, что поверхность S лежит целиком в некоторой области V и пусть в V задана функция P(x,y,z) непрерывная со своими частными производными.
o∫(L)P(x,y,z)dx=o∫(L)P(x,y,f(x,y))dx= Применим формулу Грина
=-∫∫(D)dP/dydxdy=-∫∫(D)(dP/dy+dP/df*df/dy)dxdy
=-∫∫dP/dycos(c)dS-∫∫dP/df*df/dy cos(c)dS=
Cos(b)/cos(c)=-z’y => Cos(b)=-f’y cos(c)
=-∫∫dP/dycos(c)dS+∫∫dP/dz cos(b)dS=o∫P(x,y,z)dx
Формула справедлива для любой поверхности которую можно разбить на части которые можно явно задать. Аналогично доказывается QR
Замечание из формулы стокса следует, что dR/dy=dQ/dz; dP/dz=dR/dx; dQ/dx=dP/dy.
