Поверхность задается Явно(Z=f(x,y)), Неявно(F(x,y,z)=0), параметрически(x,y,z=phi(u,v))
Поверхность Ф будем считать гладкой, если для любой ее внутренней точки существует такая область, которая выдает часть поверхность допускающую явное представление Z=F(x,y), где функция непрерывно дифференцируема. Отсюда следует, что в каждой внутренней точки гладкой поверхности существует такая плоскость и нормаль. Если поверхность явна задана – тогда она всегда будет гладкой. Если неявно, и F(x,y,z) непрервывно дифференцируема то т.М(x0,y0,z0) называется особой, если выполняется условие F’x^2+F’y^2+F’z^2=0. Если таких точек нет, то поверхность – гладкая. N=(F’x|m0, F’y|m0, F’z|m0 уравнение нормали касательной. Если поверхность задана параметрически, то точка называется особой, если в этой точке векторы коллинеарны Fu=phi’u*i+psi’u*j+x’u*k Fv=phi’v*i+psi’v*j+x’v*k, M0(phi(u,v)…). Уравнения касательной плоскости и нормали в неособой точке имеет вид A(x-x0)+B(y-y0)+c(z-z0)=0
[r’u,r’v] равна определителю матрицы |i j k| phi’u psi’u x’u| phi’v psi’v x’v|
Ф-гладкаяограниченная поверхность. Разобьем на кусочно гладкие части. Таким образом чтобы каждая часть однозначно проектировалась на касательную плоскость проведенную в любой ее части. На каждой части выберем точку. Проведем через нее касательную плоскость. Si-площадь проекции. Суммируем все части. S(Gi,Mi)=∑Si Число Sназовем пределом интегральной суммы при стремлении d к 0. Если (при любом e>0)(существует b>0)( и для любого разбиеня поверхности) (d<b)(в любой точке M):|(S(Gi,Mi)-S|<e
Если этот предел сущесвует, значит поверхность назовем квадрируемой, а S – площадть поверхности.Гладкая параметрически заданная поверхность не имеющая особых точек квадрируема и ее площадь вычисляется S=∫∫sqrt(A^2+B^2+C^2)dudv или если ввести Гаусовы координаты E=[phi]’u^2+[psi]’u^2+[x]’u^2 G=[phi]’v^2+[psi]’v^2+[x]’v^2 F=[phi]’v [phi]’u +[psi]’v [psi]’u +[x]’v [x]’u тогда S=∫∫sqrt(EG-F^2)dudv Если поверхность задана явно, то sqrt(1+f’x^2+f’y^2)dxdy
