: Равномерно непрерывна функция если при любом eps существует единое б для всего множества.(см определение предела) Связь равномерной непрерывности и непрерывности: Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна на этом множестве, обратное неверно. Для док-ва обратного: y=sin1/x если взять точки pi и pi/2, то разность x1 и x2 ->0, а f(x1)-f(x2)=1. Теорема: Пусть функция определена и непрерывна на a,b тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке. Док-во: Пусть для некоторого eps>0 не существует искомого б это означает, что для любого б существуют точки x1 x2 удовлетворяющие условию, но такие, что разность значений функции ≥eps. Возьмем б(n) положительных чисел близких к 0 тогда для любого б существуют значения х0 и хn на отрезке a,b. Т.е. |x0-x|<б, а |f(x0)-f(x)|>eps. По лемме Больцана Вейерштрасса мы может из последовательности извлечь сходящуюся, возьмем всю последовательность. |x-x0|<б Тогда в силу непрерывности функции f(x)->f(x0) => их растность близка к 0, что противоречит условию >eps
