Существует точные и приближенные методы исследования нелинейных систем к числу точных методов относятся методы фазовых траекторий, точечных преобразований, частотный метод Попова, метод сечений пространства параметров, метод припасовывания, к приближенным методам относится метод гармонической линеаризации.
Основы метода фазовых траекторий
Метод фазовых траекторий заключается в том, что поведение исследуемой нелинейной системы рассматривается и описывается не во временной области (в виде уравнений процессов в системе), а в фазовом пространстве системы (в виде фазовых траекторий).
Состояние нелинейной системы автоматического управления характеризуется с использованием фазовых координат системы
задающих вектор состояния системы в фазовом пространстве системы
Y (y1, y2, y3,...yn).
При введении в рассмотрение фазовых координат нелинейное дифференциальное уравнение порядка n для свободного процесса в нелинейной системе
преобразуется к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка
В ходе процесса в системе фазовые координаты yi изменяются и вектор состояния системы Y описывает годограф в n– мерном фазовом пространстве системы (рис. 56). Годограф вектора состояния (траектория движения изображающей точки M, соответствующей концу вектора) есть фазовая траектория системы. Вид фазовой траектории однозначно связан с характером процесса в системе. Поэтому о свойствах нелинейной системы можно судить по ее фазовым траекториям.
Уравнение фазовой траектории может быть получено из приведенной выше системы уравнений первого порядка, связывающих фазовые координаты и учитывающих свойства системы, путем исключения времени. Фазовая траектория не отображает время процессов в системе.
Связь между фазовой траекторией y(x) и процессом x(t) поясняет рис. 57. Фазовая траектория построена в фазовых координатах 0XY, где x – выходная величина системы, y – скорость изменения выходной величины (первая производная x’). Переходный процесс x(t) построен в координатах x–t (выходная величина – время).
Замена производится по участкам, для каждого из которых нелинейная часть характеристики представляется линейным отрезком. Это дает возможность получить интегрируемое линейное дифференциальное уравнение, приближенно отражающее процесса в пределах данного участка. Для системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, ход расчета можно показать на фазовой плоскости, по осям которой откладываются исследуемая переменная л: и ее производная по времени у. Решение динамической задачи сводится к изучению точечного преобразования координатной полуоси в самое себя.
Рис.10.7. Метод точечных преобразований
Частотный метод румынского ученого В.М. Попова, предложенный в 1960 году, решает задачу об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью, заданной предельным значением коэффициента передачи k нелинейного элемента. Если в системе управления имеется лишь одна однозначная нелинейность z=f(x), то, объединив вместе все остальные звенья системы в линейную часть, можно получить ее передаточную функцию Wлч(p), т.е. получить расчетную схему рис.7.1.
Ограничений на порядок линейной части не накладывается, т.е. линейная часть может быть любой. Очертание нелинейности может быть неизвестным, но она должна быть обязательно однозначной. Необходимо лишь знать, в пределах какого угла arctg k (рис. 7.2) она расположена, где к - предельный (наибольший) коэффициент передачи нелинейного элемента.
Рис.7.2. Характеристика нелинейного элемента
Графическая интерпретация критерия В.М.Попова связана с построением а.ф.х. видоизмененной частотной характеристики линейной части системы W*(jω), которая определяется следующим образом:
W*(jω) = Re WЛЧ(jω) + Im WЛЧ(jω),
где Re WЛЧ(jω) и Im WЛЧ(jω) - соответственно действительная и мнимая части линейной системы.
Критерий В.М.Попова может быть представлен или в алгебраической, или частотной форме, а также для случаев устойчивой и неустойчивой линейной части. Чаще используется частотная форма.
Формулировка критерия В.М.Попова в случае устойчивой линейной части: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на комплексной плоскости W*(jω), проходящую через точку (
, j0), чтобы вся кривая W*(jω) лежала справа от этой прямой. Условия выполнения теоремы показаны на рис. 7.3.
Рис. 7.3. Графическая интерпретация критерия В.М. Попова для абсолютно устойчивой нелинейной системы
На рис. 7.3 приведен случай абсолютной устойчивости нелинейной системы при любой форме однозначной нелинейности. Таким образом, для определения абсолютной устойчивости нелинейной системы по методу В.М. Попова необходимо построить видоизмененную частотную характеристику линейной части системы W*(jω), определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия 
и через точку (-) на вещественной оси комплексной плоскости провести некоторую прямую так, чтобы характеристика W*(jω) лежала справа от этой прямой. Если такую прямую провести нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость для данной системы невозможна. Очертание нелинейности может быть неизвестным. Критерий целесообразно применять в случаях, когда нелинейность может в процессе работы САУ изменяться, или ее математическое описание неизвестно.
Метод припасовывания нашел свое применение при построении фазовых портретов нелинейных систем, которые могут быть представлены в виде линейной и нелинейной частей (рис. 11.10), причем линейная часть является системой второго порядка, а нелинейная часть характеризуется кусочнолинейной статической характеристикой.
линеиная часть
нелинейная часть
Рис. 11.10 Структурная схема нелинейной системы
Согласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует линейный участок статической характеристики. На таком рассматриваемом участке система линейна и ее решение может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения для фазовой траектории этого участка. Интегрирование уравнения при построении фазовой траектории производится до тех пор, пока последняя не выйдет на границу следующего участка. Значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на следующем участке. В этом случае говорят, что начальные условия припасовываются, т.е. конец предыдущего участка фазовой траектории является началом следующего. Граница между участками называется линией переключения.
Таким образом, построение фазового портрета методом припасовывания производится в следующей последовательности:
выбираются или задаются начальные условия;
интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали начальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;
производится припасовывание начальных условий.
Метод гармонической линеаризации
Общих универсальных методов исследования нелинейных систем не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей. Однако, для отдельных видов нелинейных систем разработаны эффективные методы анализа и синтеза.
- Метод гармонической линеаризации предназначен для представления нелинейной части системы некоторой эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе могут рассматриваться, как гармонические.
- Этот метод может быть эффективно использован для исследования периодических колебаний в автоматических системах, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как вредных.
Характерным для метода гармонической линеаризации является рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ можно разделить на статические и динамические. Динамические НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и являются гораздо более сложными. Статические НЭ описывают-ся функцией F(x).
