Пусть фигура представляет собой сектор, заданный в полярной системе координат кривой 
, где 
- неотрицательная непрерывная кривая на отрезке 
. Разобьем угол 
на n частей лучами 
<
<…<
и обозначим 
(рисунок 4).
Площадь криволинейного сектора равна сумме n площадей 
, заданных разбиением 
, i = 1, 2, …, n, 
.
Выберем один из элементов разбиения 
, соответствующий сектору 
, и зафиксируем на этом промежутке произвольное значение 
. Значение функции 
в точке 
обозначим 
Рисунок 4
и заменим площадь криволинейного сектора круговым сектором радиуса 
, площадь которого 
. Выполним такую же операцию на каждом участке разбиения и просуммируем полученные значения.
Сумма площадей круговых секторов
представляет собой интегральную сумму , предел которой, существующий в силу непрерывности функции 
, равен определенному интегралу, выражающему площадь фигуры в полярных координатах
Пример.
Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией 
и лучами 
.
Решение.
Функция положительна и непрерывна на отрезке 
. Для наглядности изобразим фигуру в полярной системе координат.
Эта фигура является криволинейным сектором, и мы сразу можем применить соответствующую формулу для нахождения его площади:
