Конъюнкцией 2 предикатов Р(х) и Q(х) называется сложный предикат Р(х) Ʌ Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях переменной, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и значение «ложь» во всех остальных случаях.
Конъюнкцией 2 предикатов Р(х) и Q(х) называется логическая операция, результатом которой является сложный предикат Р(х) Ʌ Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях переменной, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и значение «ложь» во всех остальных случаях.
А(х): х+5 = 0 х = -5 ложь
В(х): х-4 = 0 х = 4
Если нет пересечения, то ложь.
Теорема
Мн-во истинности конъюнкции есть пересечение мн-в истинности простых предикатов, входящих в конъюнкцию.
Теорема:
Мн-во истинности конъюнкции предикатов является пересечение множеств истинности конъюнкции предикатов
ТА(х)∧В(х)= ТА(х) Тв(х)
Док-во
1)Док-ем, чтоТА∧В⊂ТА∩ТВ .
Пусть а-произвольный элемент из мно-ва Х, а∈Х и а∈ТА∧В
По определению, предикат А(х)∧В(х) обращается в истинное высказывание при х=а,т.е. высказывание А(а)∧В(а)- «И»
Известно, что конъюнкции высказываний истинно только тогда, когда истинно каждое высказывание.
А(а)∧В(а)⇔А(а)-«И»;В(а)-«И»
|
а∈ТА∩Тв |
Если А(а)-«И», то а∈ТА
Если В(а)-«И», то а∈ТВ
Т.к. а-любой элемент из ТА∧В, то все элементы принадлежат мно-ву ТА∩Тв⇒ТА∧В⊂ТА∩ТВ⟹
2)Док-ем обратное утверждение. Пусть а-произвольный элемент из мно-ва Х и известно, что а∈ ТА∩Тв(по определению пересечения мн-в означает, что)⇒а∈ ТА и а∈ Тв⇒А(а) и В(а)- «И»высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а)∧В(а)-«И», т.е. а∈ ТА∧в⇒ТА∩ТВ⊂ТА∧В
Из пунктов 1 и 2 в силу определения равных мн-в следует справедливость равенства ТА(х)∧В(х)=ТА(х) ∩ ТВ(х), что и требовалось док-ть.
