Момент сили відносно нерухомої осі

Моментом сили  відносно нерухомої точки О називається фізична величина, яка визначається векторним добутком радіуса-вектора, проведеного з точки О в точку прикладання сили, на силу  :

Модуль моменту сили: 

де  – плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до напряму дії сили. Вважають момент додатним, якщо складова сили змушує обертатись тіло за годинниковою стрілкою, а від'ємним – при обертанні тіла проти годинникової стрілки.

Моментом сили відносно нерухомої осі z називається скалярна величина  , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили  , визначеного відносно довільної точки цієї осі. 

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.

При повороті тіла під дією сили  на нескінченно малий кут  точка прикладання сили проходить шлях  і робота дорівнює:

Оскільки

Тоді , або 

Звідси рівняння динаміки обертального руху твердого тіла:

Якщо вісь обертання співпадає з головною віссю інерції, що проходить через центр мас, то має місце векторна рівність:

де J – головний момент інерції тіла.

Усяке тіло можна умовно поділити на таку кількість nмалих частин, щоб розміри їх були малі порівняно з розмірами всього тіла. Отже, тіло завжди можна розглядати як систему з nматеріальних точок, причому маса m тіла дорівнює сумі мас усіх цих точок: .

Розглянемо закономірності руху твердого тіла, закріпленого в одній нерухомій точці О, навколо якої тіло може вільно обертатись. Точка О називається центром обертання твердого тіла.

Для характеристики зовнішньої механічної дії на тіло, яка приводить до зміни обертального руху тіла, введемо поняття моменту сили.

Моментом сили  відносно нерухомої точки О називається векторний добуток радіус-вектора , який проведений з точки О в точку прикладання сили, на силу : .

Вектор  напрямлений перпендикулярно до площини векторів  і  (рис. 13).

Модуль моменту сили

,

де  – кут між  і ,  – плече сили – довжина перпендикуляра, опущеного з точки  на лінію дії сили .

Момент сили  характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки, відносно якої він береться.

Моментом сили відносно нерухомої осі ОZ називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора  моменту сили, визначеного відносно довільної точки О даної осі OZ (рис. 14).

Значення моменту  не залежить від вибору положення точки О на осі OZ.

Векторна сума моментів  всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла, називається головним моментом  зовнішніх сил відносно точки :

.

Головний момент (результуючий момент) відносно нерухомої осі OZ системи сил дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил системи відносно цієї осі:

.

Моментом імпульсу  матеріальної точки відносно нерухомої точки  називається векторний добуток радіус-вектора  матеріальної точки, який проведений з точки , на імпульс цієї матеріальної точки  (рис. 15):

.

Модуль вектора моменту імпульсу

.

Векторна сума моментів імпульсу  всіх матеріальних точок тіла називається моментом  імпульсу тіла відносно точки :

.

Моментом імпульсу тіла відносно нерухомої осі називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу тіла відносно довільної точки  на осі OZ. Значення моменту імпульсу  не залежить від положення точки  на осі OZ.

Знайдемо вираз для моменту  імпульсу тіла відносно осі обертання. Проекція результуючого вектора на деяку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на цю вісь усіх складових векторів:

.

Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі OZ, орт  якої збігається з напрямком кутової швидкості  тіла (рис. 16).

При цьому , де .

При обертанні тіла навколо осі OZ матеріальна точка масою  рухається по колу радіусом  із швидкістю . Швидкість  й імпульс  перпендикулярні до радіуса , і радіус-вектора , причому .

В результаті момент імпульсу тіла відносно осі 

Швидкість і-ї точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю , дорівнює:

.

Отже, .

Сума добутків мас усіх матеріальних точок тіла на квадрати їх відстаней до осі OZ називається моментом інерції тіла відносно цієї осі:

.

Отже, .

Момент імпульсу тіла відносно осі дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно тієї самої осі на кутову швидкість обертання навколо цієї осі.

Ми ввели поняття моменту інерції, розглядаючи обертання твердого тіла. Однак момент інерції існує безвідносно до обертання. Всяке тіло, незалежно від того чи обертається воно, чи знаходиться в стані спокою, має момент інерції відносно довільної осі.

Момент інерції тіла відносно довільної осі можна розрахувати, використав-
ши теорему Штейнера: момент інерції 
 тіла відносно довільної осі  дорівнює сумі моменту інерції  тіла відносно паралельної до неї осі , що проходить через центр мас  тіла, і добутку маси тіла  на квадрат відстані d між цими осями (рис. 17):.