Общая постановка задачи
Пусть на некотором множестве задана
система функций:
j0(x), j1(x), … jm(x), … .
Назовём эту систему основной.
Функцию вида
Pm(x) = c0 j0(x) + c1 j1(x) + … + cm jm(x) ,
где c0 , c1 , … cm – постоянные коэффициенты, -
называют обобщённым полиномом
(порядка m).(где j это -фи)
В частности, если основная система состоит из
целых неотрицательных степеней х :
j0(x) = 1, j1(x) = х , … jm(x) = хт, … .
то
Pm(x) = c0 + c1 x + … + cm xт
есть обычный полином степени не выше m .
В общем виде задача приближения
функции ставится так:
Данную функцию f (x) требуется заменить
обобщённым полиномом Pm(x) заданного
порядка т так, чтобы его отклонение
(понимаемое в известном смысле) от
функции f (x) на некотором
фиксированном множестве Х было
наименьшим.
Если множество Х = {x0, x1, …, xn} – конечно,
приближение называют точечным.
Если множество Х = [a, b] – отрезок,
приближение называют интегральным.
Виды задач приближения функций
Что касается понятия отклонения одной
функции от другой, то оно может
пониматься по-разному.
При этом получают различные виды задач
приближения функций:
• равномерное приближение.
• квадратичное приближение (точечное или
интегральное)
• интерполирование .
Равномерное приближение
Пусть функция f (x) определена и непрерывна
на некотором отрезке [a, b] .
Положим Х = [a, b] .
Абсолютным отклонением обобщённого
полинома Pт(x) от функции f (x) на [a, b]
называется число .форму в лекциях
Очевидно, что если Dт £ e , то для " xÎ[a, b] :
| Pт(x) - f(x) | £ e .
В этом случае говорят, что Pт(x) равномерно
приближает функцию f (x) на отрезке [a, b]
с точностью до e .
и график тоже.
