Вынужденные колебания. Резонанс.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ .
Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: $ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ . Если ввести обозначения: $\omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m}$ и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

$\ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)$

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

$x(t) = A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right)$ ,

где $A, \phi$ — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: $x(t)=B \cos \left(\Omega t \right)$ и получим значение для константы:

$B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}$

Тогда окончательное решение запишется в виде:

$x(t)= A \sin\left(\omega_0 t + \phi\right) + \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}\cos\left(\Omega t \right)$

РЕЗОНАНС - ??????