Признание того факта, что результат измерения всегда содержит ошибку, ведет к двум правилам:
1) численное значение полученной из опыта физической величины должно обязательно сопровождаться указанием величины возможной ошибки;
2) единичные измерения недопустимы и всякое измерение должно сопровождаться многократным повторением.
Отдельные, единичные измерения принято называть наблюдениями, а термин «измерение» используется обычно для обозначения совокупности нескольких наблюдений. Полноценное измерение должно состоять не менее, чем из 4, 5 наблюдений. Величину х0 находят при этом из выражения
где n – число наблюдений, а хi – результат каждого из них.
Для оценки величины возможной ошибки измерения следует указать погрешность измерения, которая не идентична, строго говоря, ошибке δх. Ошибка – это неизвестное экспериментатору отклонение измеренного значения от истинного, а погрешность Δх – это некоторая мера точности результата, которую экспериментатор должен определить и указать. При этом результат приводится в виде 
. Следует подчеркнуть, что величину Δх, которую называют абсолютной погрешностью измерений, можно определить разными способами.
Представим, что выполнено довольно большое количество наблюдений, для каждого из которых найдена величина δхi = хi - 
. Тогда в качестве погрешности можно указать верхний предел абсолютного значения этой разности, т.е. величину |δx|макс. Для оценки погрешности можно использовать также среднее квадратичное отклонение
квадрат которого, т.е. величину S2, называют дисперсией.
В результате анализа любой совокупности наблюдений легко установить, что величина S всегда заметно ниже верхнего предела разности δхi , т.е. установление погрешности измерения лежит, как видим, на совести экспериментатора.
Можно указать большую погрешность в погоне за надежностью, но ценность результата будет при этом очень низкой. Укажем слишком малую погрешность – наши предсказания могут оказаться ложными.
Весь опыт экспериментальной работы показывает, что в качестве погрешности наиболее целесообразно выбрать величину Δх, которая находится где-то между величинами S и |δx|макс. Но для того, чтобы это сделать, мы должны знать закон распределения ошибок измерений в реальном эксперименте, чему будут посвящены следующие вопросы.
Заметим, что величина Δх не всегда удобна при сравнении точности измерений различных величин. Для этих целей иногда вводят также относительную погрешность 
.
Распределение Гаусса. Предположим, что все систематические ошибки полностью устранены, так что имеются только случайные ошибки. Рассмотрим распределение измеренных значений величины х в хорошо поставленном эксперименте. С этой целью разобьем весь интервал измеренных значений от хmin до хmax на k одинаковых промежутков шириной Dх=(хmin - хmax)/k и припишем каждому такому промежутку Dхi порядковый номер i (1<i<k). 
После этого определим число результатов DNi, попавших в тот или иной промежуток и изобразим это на графике в виде прямоугольника с основанием Dхi и высотой DNi. Нанесем на график подобные прямоугольники для всех i. Построенный таким образом график называется гистограммой. Перенормируем полученный график, т.е. поставим на оси координат вместо DNi величину DNi/NDх, тогда суммарная площадь всех прямоугольников будет равна 1, а площадь каждого из них будет равна вероятности того, что измеренное значение хi лежит в соответствующем интервале Dхi. Ординаты кривой распределения: 
представляют собой плотность вероятности получения результата х. если мы выделим на оси абсцисс произвольный промежуток а£х£b, то площадь под кривой между отрезками х=а и х=b, будет равна вероятности того, что измеренное значение попадет в этот интервал.
Полученное распределение называется распределением Гаусса. В аналитической форме нормированное на единицу распределение Гаусса имеет следующий вид:
. Оно определяется двумя параметрами – х0 определяет положение пика, s - его ширину. Чем меньше s, тем более узкой является кривая и тем выше точность эксперимента.
Распределение Стьюдента. При ограниченном числе измерений (n£20) закон распределения ошибок в реальном эксперименте описывается функцией Стьюдента, которая имеет вид:
, где 
- гамма-функция, значения которой при 1<=m<=2 табулированы.
Найдем вид r(х, n) для предельно низкого значения n=2 и d=1, воспользовавшись табличными значениями Г(1)=1 и Г(1,5)=0,886, а так же рекуррентным соотношением Г(1,5)=0,5Г(0,5):
Данное распределение называется лоренцовским, которое в сравнении с распределением Гаусса характеризуется более длинными хвостами. Сравним оба распределения – гауссовское и лоренцовское – на рисунке. r(ро)(0,2)=1/(пи), r(0,бесконечность)=1/корень из 2 пи, r(0,2)/r(0,бесконечность)= корень из 2 пи/пи=0,8. видно, что высота распределению Стьюдента при n=2 понижается на 20% в сравнении с высотой распределения Гаусса, а крылья линии становятся более протяженными (рис 2). При малых n как доверительный интервал, так и доверительная вероятность зависят от числа измерений n.
Доверительный интервал и доверительная вероятность. Знание закона распределения случайных ошибок в эксперименте дает математическую основу для вычисления погрешности измерений. Предполагая, что кривая распределения ошибок в эксперименте – это функция Гаусса, мы можем дать строгую оценку назначаемой нами погрешности, указав не только саму погрешность, но и вероятность того, что измеренная величина не выходит за границы некоторого заданного нами интервала. Обозначим задаваемую нами погрешность e, тогда заштрихованная площадь будет равна вероятности того, что результат измерения не выйдет за границы интервала {-e;e}, отложенного на оси абсцисс (рис1). Данный интервал называют доверительным, а соответствующую ему вероятность попадания результата в этот интервал – доверительной вероятностью. Доверительный интервал e выражают через относительную величину t=e(эпселент)/s, а доверительную вероятность P(t) находят по табличным значениям интеграла вероятностей Ф(t). Исходное выражение для доверительной вероятности Р(e), т.е. заштрихованная на рисунке площадь определяется интегрированием r(х) от -e до e:
Делая замену переменной х/s=x и заменяя пределы интегрирования на безразмерную величину t, найдем:
, где Ф(t) – интеграл вероятностей. Данный интеграл в виде таблиц приводится в справочниках.
График распределения случайных ошибок
