Пусть системы векторов e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fn} — два базиса n-мерного линейного пространства Ln.
Обозначим xe = (x1,x2, ..., xn) и xf = (x'1,x'2, ..., x'n) — координаты вектора x ∈ Ln соответственно в базисах e и f.
Справедливо следующее xe= Ce→f·xf :
Здесь Ce→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f1, ..., fn в базисе e1, ..., en:
f1 = с11· e2 + с21· e1 + ... + сn1· en, f2 = с12· e1 + с22· e2 + ... + сn2· en, ..., fn = с1n· e2 + ... + сnn· en.
Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде
xf= (Ce→f)− 1·xe
