Вектор-направленный отрезок. начало вектора-точка его приложения.
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают(не имеет направления и его длина равна нулю).
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных.
Векторы называются равными, если они коллинеарны и имеют одинаковую длину и напраление. Все нулевые векторы считаются равными.
УТВЕРЖДЕНИЕ:
каковы бы ни были вектор а и точка Р, существует единственный вектор РQ с началом в точке Р, равный ветору а. Иными словами точка приложения вектора а выбрана произвольно(свободный вектор). Также есть скользящие векторы (равные и лежат на одной прямой) и связанные(равные, лежат на одной прямой, имеют ОБЩЕЕ начало).
Линейные операции
Суммой двух векторов а и б называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора б, при условии, что вектор б приложен к концу вектора а (правило треугольника).
Свойства:
- а+б=б+а(переместительный закон) Нарисовать прямоугльник и диагональ
- (а+б)+с=а+(б+с) Нарисовать параллелограмм
- Существует нулевой вектор такой, что а+0=а(для любого вектора а) До-во из первого свойства
- Для любого вектора а существует противоложный ему, что в сумме с а они дают ноль. До-во: определим вектор а`, как вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую длину и противополодный по направлению, тогда по определению суммы слудет что они дают ноль.
Замечание 1. если векторы а и б приложены к общему началу, то по праивлу параллелограмма.
- Правило замыкания ломонной до многоульника.
Разностью двух векторов а и б называется вектор с, который в сумме с вектором б дает вектор а. с помощью свойств 1-4 доказывается, что существует единственный вектор с, представлющий собой разность, причем с=а+б`
Произведением альфа на вектор а называется вектор б, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную модуль альфа*модуль вектора а и имеющий одинаковое направление с вектором с(при альфа больше нуля) и противоположное направление(при альфа меньше нуля).
Замечание:
При альфа=0 или вектор а=нулю, получается нулевой вектор.
Свойства:
Теорема:
если вектор б коллинеарен вектору а(ненулевому), то существует вещественное чило лямда такое, что вектор =лямда*вектор а
Док-во:
