Точные грани.

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Теорема о существовании точных граней.

Теорема. $\forall$ ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть $X$ - ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через $Y$ множество всех чисел, ограничивающих сверху множество $X$ . Множество $X$ ограничено сверху, поэтому множество $Y$ не пусто. Каждый элемент $y \in Y$ ограничивает сверху множество $X$ , т.е. $\forall x \ in X : x \le y$ . Элементы $x$ и $y$ являются произвольными элементами соответственно множеств $X$ и $Y$ , поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел, $\exist \beta : \forall x \in X$ и $y \in Y$ имеет место неравенство $x \le \beta \le y$ .

Выполнение неравенства $x \le \beta$ означает, что число $\beta$ ограничивает сверху множество $X$ , а выполнение неравенства $\beta \le y$ для всех $y \in Y$ , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество $X$ , означает, что число $\beta$ является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества $X$ : $\beta = \sup X$ .

$\exist$ -е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.

Если теперь $Y$ - непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству $X$ все числа, ограничивающие снизу множество $Y$ .

Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства неперрывности действительных чисел, $\exist \alpha : \forall x \in X$ и $y \in Y$ имеет место неравенство $x \le \alpha \le y$ .

Это означает, что $\alpha = \inf Y.$ Теорема доказана.