Def: Нормой линейного оператора AÎL(V, V) называется число ||A|| определяемое равенством ||A|| = 
.
Из определения нормы линейного оператора возникает очевидное и очень полезное неравенство ||A|| £ ||A||×||Х|| .
Т°. Для эрмитового оператора А: ||A|| = 
.
◀ Обозначим m =.
1) Вспомним неравенство Коши-Буняковского (Х, У)2£ (Х, Х)(У, У) запишем |(Х,У)|£ ||X||×||Y|| Þ
Þ |(Aх, X)| £ ||Ax||×||X|| £ ||Ax||×||X||×||X|| = ||A||×||X||2, т. е. |(Aх, X)| £ ||A||×||X||2 и пусть ||X|| = 1.
|(Aх, X)| £ ||A||
Т. е. m £ ||A|| (*)
2) Отметим: |(Az, Z)| £ |(Az/||Z||, z/||Z||)| × ||Z||2 £ ||Z||2 × sup|(Az/||Z||, z/||Z||)|,
Т. е. |(Az, Z)| £ m||Z||2 и теперь рассмотрим разность:
(A(Х + У), Х + У) – (А(Х – У), Х – У) = (Ах, Х) + (Ах, У) + (Ау, Х) + (Ау, У) – (Ах, Х) + (Ах, У) + (Ау, Х) – (Ау, У) = 2(Ах, У) + 2(Ау, Х) = 2((Ах, У) + (У, Ах)) = 2((Ах, у) + (
)) = 4Re(Ах, У), т. е. 4Re(Ах, У) = (A(X + Y), X + Y) – (А(Х– У), Х – У).
Тогда:
4|Re(Ах, У)| = |(A(X + Y), X + Y) – (А(Х – У), Х – У)| £ |(A(X + Y), X + Y)| + |(А(Х– У), Х– У)| £
£ m((X+ Y, X + Y) + (Х– У, Х– У)) = m((X, X) + (Y, Y)+ (Х, У)+ (Y, X) + (X, X) +(Y, Y) – (X, Y) – (Y, X)) =
= 2m((X, X) + (Y, Y)) = 2m (||X||2 + ||Y||2). Отсюда, при ||X|| = ||Y|| = 1
4|Re(Ах, У)| £ 4m Þ| Re(Ах, У)| £ m.
Положим теперь 
(очевидно ||Y|| = 1):
.
Тогда 
, т. е. ||А|| £ m.
В 1) и 2) доказано, что ||А|| ³ m и ||А|| £ m, т. е. ||А|| = m = 
▶
