1. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
2. Теорема о «зажатой» последовательности.
Если 
и 
, то и 
.
3. Критерий Коши.
Для того чтобы последовательность 
имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого 
можно было указать такой номер 
, что 
для всех 
при любых 
.
***
a. Часто характер изменения функции с приближением аргумента к какому-либо пределу настолько сложен, что может возникнуть сомнение в самом существовании предела.
b. То обстоятельство, что с приближением аргумента к какому-либо пределу функция может и не иметь предела, покажет хотя бы следующий простой пример:
По мере увеличения функция принимает периодически все возможные для нее значения от —1 до и, таким образом, ни к какому определенному пределу не приближается.
c. Укажем здесь один простой признак, который в интересующих нас случаях позволит узнать, стремится ли функция к какому-либо пределу или нет.
Чтобы лучше понять, в чем этот признак состоит, вспомним, как мы в элементарной геометрии подходили к вычислению площади круга. Последнюю мы рассматривали там как общий предел площадей вписанных и описанных правильных многоугольников (получаемых, например, последовательным удвоением числа сторон).
Именно, при беспредельном увеличении числа сторон происходит следующее (рис. 7):
Рис. 7
1. Площадь вписанного многоугольника возрастает.
2. Площадь описанного многоугольника убывает.
3. Разность между обеими площадями стремится к нулю.
Ввиду 1, 2 и 3 мы считаем очевидным, что обе площади стремятся к некоторому общему пределу (который и принимаем за площадь круга).
d. Другой пример возьмем из алгебры. Извлекая по известным правилам, получим
Если рассмотреть два набора чисел и принимающих такие последовательные значения:
(числа суть так называемые приближенные значения с недостатком, а числа — приближенные значения с избытком), то увидим, что:
1) возрастает;
2) убывает;
3) разность стремится к нулю.
Мы опять считаем очевидным, что стремятся к некоторому общему пределу (который и принимаем за).
e. И вообще, если:
1) переменная возрастает
2) переменная убывает
3) разность стремится к нулю
то считаем очевидным, что переменные стремятся к некоторому вполне определенному общему пределу.
Это утверждение принимаем как аксиому, т. е. как очевидную истину, не требующую доказательства.
