Смешанное произведение и его свойства. Условие компланарности векторов

Смешанным произведением векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ называется число $\bigl\langle\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigl\rangle$ , равное скалярному произведению вектора $\vec{a}$ на векторное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ . Смешанное произведение обозначается $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ .

Геометрические свойства смешанного произведения:

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ равен объему $V_{*\vec{a},\vec{b},\vec{c}}$ параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ положительно, если тройка векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ — правая, и отрицательно, если тройка $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ компланарны:

$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0~\Leftrightarrow$ векторы $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ компланарны.

Алгебраические свойства смешанного произведения:

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{b},\vec{a},\vec{c}),\qquad (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{c},\vec{a},\vec{a}),\qquad (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{a},\vec{c},\vec{b}).$

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b}).$

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Формула вычисления смешанного произведения:

Теорема: (формула вычисления смешанного произведения).Если векторы $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ в правом ортонормированном базисе $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ имеют координаты $x_a,y_a,z_a$ ; $x_b,y_b,z_b$ ; $x_c,y_c,z_c$ соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле:

$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})= \begin{vmatrix} x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b\\ x_c&y_c&z_c \end{vmatrix}.$

Условия компланарности векторов

Определение.

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Компланарные вектора

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов:

Для 3-х векторов.
Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Для 3-х векторов.
Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов.
Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.