Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
1.Сложение векторов. Пусть 
и 
– два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор 
; затем от точки А отложим вектор 
. Вектор 
, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается 
Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы и 
. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор 
– диагональ параллелограмма – является суммой векторов и
2.Вычитание векторов. Разностью 
векторов и называется такой вектор 
, который в сумме с вектором дает вектор : 
Û 
.
Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому»
Т.о., если на векторах и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор 
, совпадающий с другой диагональю, – разности
3.Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число 
называется вектор (обозначают 
), определяемый следующими условиями:
1) 
,
2) 
при 
и 
при 
.
Очевидно, что при 
.
Построим, например, векторы 
и 
для заданного вектора 
Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство
Свойства линейных операций:
1) 
;
2) 
;
3) 
; 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
; 
;
Условия коллинеарности векторов
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо если один из компонентов вектора равен нулю.
Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
