Вектор, как геометрический объект. Коллинеарные и компланарные векторы. Координаты вектора. Длина вектора. Направляющие косинусы

Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.

На рисунках направление вектора обозначается стрелкой от начала к концу. Если длина рассматриваемого отрезка равна нулю, то есть отрезок вырождается в точку, то эта точка тоже может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым и имеет произвольное направление.

На изображены ненулевые векторы  и  и нулевой вектор  Нулевой вектор иногда обозначается символом 

Длиной (модулем) ненулевого вектора  называется длина отрезка AB. Она обозначается как  Длина нулевого вектора равна нулю: 

Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.

Если два ненулевых вектора  и  коллинеарны, а лучи AB и CD сонаправлены, то векторы  и  называются сонаправленными. Этот факт обозначается так:  Если же эти лучи не являются сонаправленными, то векторы  и  называются противонаправленными. Этот факт обозначается так: 

1.Равные вектора

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны

2.Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены

 и  – противоположные векторы.

3.Суммой двух векторов  и  называется новый вектор  который обозначается  и получается следующим образом.

Отложим от произвольной точки A вектор , равный  Теперь от точки B отложим вектор  равный  Вектор  и называется суммой векторов  и   Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Для любых векторов   и  справедливы равенства:

•  (переместительный закон);

•  (сочетательный закон).

Разностью векторов  и  называется такой вектор  сумма которого с вектором  равна вектору  Обозначается разность векторов так:  где  – вектор, противоположный вектору .

Направляющие косинуса

Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

1.Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой

Свойство:

² α + cos² β = 1

2.Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой

Свойство:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1