Гемодинамика

Гемодинамика - раздел биомеханики, в котором исследуется движение крови по сосудистой системе. Физической основой гемодинамики является гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов.

9.1. Движение крови в сосудистой системе. Пульсовая волна

Для поддержания электрического тока в замкнутой цепи требуется источник тока, который создает разность потенциалов, необходимую для преодоления сопротивления в цепи. Аналогично для поддержания движения жидкости в замкнутой гидродинамической системе требуется «насос», который создает разность давлений, необходимую для преодоления гидравлического сопротивления. В системе кровообращения роль такого насоса играет сердце.

В качестве наглядной модели сердечно-сосудистой системы рассматривают замкнутую, заполненную жидкостью систему из множества разветвленных трубок с эластичными стенками. Движение жидкости происходит под действием ритмично работающего насоса в виде груши с двумя клапанами (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Модель сосудистой системы

При сжатии груши (сокращение левого желудочка) открывается выпускной клапан К₁ и содержащаяся в ней жидкость выталкивается в трубку А (аорта). Благодаря растяжению стенок объем трубки увеличивается, и она вмещает избыток жидкости. После этого клапан К₁закрывается. Стенки аорты начинают постепенно сокращаться, прогоняя избыток жидкости в следующее звено системы (артерии). Их стенки сначала также растягиваются, принимая избыток жидкости, а затем сокращаются, проталкивая жидкость в последующие звенья системы. На завершающей стадии цикла кровообращения жидкость собирается в трубку Б (полая вена) и через впускной клапан К₂ возвращается в насос. Таким образом, данная модель качественно верно описывает схему кровообращения.

Рассмотрим теперь явления, происходящие в большом круге кровообращения, более подробно. Сердце представляет собой ритмически работающий насос, у которого рабочие фазы - систолы (сокращение сердечной мышцы) - чередуются с холостыми фазами - диастолами (расслабление мышцы). В течение систолы кровь, содержащаяся в левом желудочке, выталкивается в аорту, после чего клапан аорты закрывается. Объем крови, который выталкивается в аорту при одном сокращении сердца, называется ударным объемом (60-70 мл). Поступившая в аорту кровь растягивает ее стенки, и давление в аорте повышается. Это давление называетсясистолическим (САД, Р_с). Повышенное давление распространяется вдоль артериальной части сосудистой системы. Такое распространение обусловлено упругостью стенок артерий и называется пульсовой волной.

Пульсовая волна - распространяющаяся по аорте и артериям волна повышенного (над атмосферным) давления, вызванная выбросом крови из левого желудочка в период систолы.

Пульсовая волна распространяется со скоростью v_п = 5-10 м/с. Величина скорости в крупных сосудах зависит от их размеров и механических свойств ткани стенок:

где Е - модуль упругости, h - толщина стенки сосуда, d - диаметр сосуда, ρ - плотность вещества сосуда.

Профиль артерии в различные фазы волны схематически показан на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Профиль артерии при прохождении пульсовой волны

После прохождения пульсовой волны давление в соответствующей артерии падает до величины, которую называют диастолическим давлением (ДАД или Р_д). Таким образом, изменение давления в крупных сосудах носит пульсирующий характер. На рисунке 9.3 показаны два цикла изменения давления крови в плечевой артерии.

Рис. 9.3. Изменение артериального давления в плечевой артерии: Т - длительность сердечного цикла; Т_с ≈ 0,3Т - длительность систолы; Т_д ≈ 0,7Т - длительность диастолы; Р_с - максимальное систолическое давление; Р_д - минимальное диастолическое давление

Пульсовой волне будет соответствовать пульсирование скорости кровотока. В крупных артериях она составляет 0,3-0,5 м/с. Однако по мере разветвления сосудистой системы сосуды становятся тоньше и их гидравлическое сопротивление быстро (пропорциональ-

но R⁴) растет. Это приводит к уменьшению размаха колебаний давления. В артериолах и далее колебания давления практически отсутствуют. По мере разветвления падает не только размах колебаний давления, но и его среднее значение. Характер распределения давления в различных участках сосудистой системы имеет вид, представленный на рис. 9.4. Здесь показано превышение давления над атмосферным.

Рис. 9.4. Распределение давления в различных участках сосудистой системы человека (на оси абсцисс - относительная доля общего объема крови на данном участке)

Длительность цикла кровообращения у человека составляет приблизительно 20 с, и в течение суток кровь совершает 4200 оборотов.

Сечения сосудов кровеносной системы в течение суток испытывают периодические изменения. Это связано с тем, что протяженность сосудов очень велика (100 000 км) и 7-8 литров крови для их максимального заполнения явно недостаточно. Поэтому наиболее интенсивно снабжаются те органы, которые в данный момент работают с максимальной нагрузкой. Сечение остальных сосудов в этот момент уменьшается. Так, например, после приема пищи наиболее энергично функционируют органы пищеварения, к ним и направляется значительная часть крови; для нормальной работы головного мозга ее не хватает, и человек испытывает сонливость.

Число, или, правильнее, критерий Рейно́льдса ( $\!\mathrm{Re}$ ), — безразмерная величина, характеризующая отношение нелинейного и диссипативного членов в уравнении Навье — Стокса^[1]. Число Рейнольдса также считается критерием подобия течения вязкой жидкости.

Число Рейнольдса определяется следующим соотношением:

$\mathrm{Re}=\frac{\rho vD_\Gamma}{\eta}=\frac{vD_\Gamma}{\nu}=\frac{QD_\Gamma}{\nu A},$

где

$\rho$ — плотность среды, кг/м³;
$v$ — характерная скорость, м/с;
$D_\Gamma$ — гидравлический диаметр, м;
$\eta$ — динамическая вязкость среды, Н·с/м²;
$\nu$ — кинематическая вязкость среды, м²/с ( $\nu = \frac{\eta}{\rho}$ );
$Q$ — объёмная скорость потока;
$A$ — площадь сечения трубы.

Для каждого вида течения существует критическое число Рейнольдса, $\mathrm{Re_{\kappa \rho}}$ , которое, как принято считать, определяет переход отламинарного течения к турбулентному. При $\mathrm{Re}<\mathrm{Re_{\kappa \rho}}$ течение происходит в ламинарном режиме, при $\mathrm{Re}>\mathrm{Re_{\kappa \rho}}$ возможно возникновение турбулентности. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения (течение в круглой трубе,обтекание шара и т. п.), различными возмущениями потока, такими как изменение направленности и модуля вектора скорости потока, шероховатость стенок, близость местных сопротивлений и др. Например, для течения (точнее, для стабилизированного изотермического потока) жидкости в прямой круглой^{[источник не указан 736 дней]} трубе с очень гладкими стенками $\mathrm{Re_{\kappa \rho}}\simeq 2~300$ . Для движения плёнки жидкости с относительно гладкой поверхностью раздела с газом при двухфазном потоке $\mathrm{Re_{\kappa \rho}}\simeq 20 - 120$ .

Значения Re выше критического и до определённого предела относятся к переходному (смешанному) режиму течения жидкости, когда турбулентное течение более вероятно, но ламинарное иногда тоже наблюдается — то есть, неустойчивая турбулентность. Числу Re_кр 2300 соответствует интервал 2300-10 000; для упомянутого примера с тонкими плёнками это 20-120 — 1600.

Число Рейнольдса как критерий перехода от ламинарного к турбулентному режиму течения и обратно относительно хорошо действует для напорных потоков. При переходе к безнапорным потокам переходная зона между ламинарным и турбулентным режимами возрастает, и использование числа Рейнольдса как критерия не всегда правомерно. Например, в водохранилищах формально вычисленные значения числа Рейнольдса очень велики, хотя там наблюдается ламинарное течение. Напротив, возмущения потока могут значительно снижать величину $\mathrm{Re_{\kappa \rho}}$ .

Стоит отметить, что для газов Re_кр достигается при значительно бо́льших скоростях, чем у жидкостей, поскольку у первых куда больше кинематическая вязкость (в 10-15 раз).

Критерий назван в честь выдающегося английского физика О. Рейнольдса (1842—1912), автора многочисленных пионерских работ погидродинамике.

Ламина́рное тече́ние (лат. lāmina — «пластинка») — течение, при котором жидкость или газперемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления).

Ламинарное течение возможно только до некоторого критического значения числа Рейнольдса, после которого оно переходит в турбулентное. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения (течение в круглой трубе, обтекание шара и т. п.). Например, для течения в круглой трубе $Re_{kp} \simeq 2300$ .

Турбуле́нтность, устар. турбуле́нция (от лат. turbulentus — бурный, беспорядочный), турбуле́нтное тече́ние — явление, заключающееся в том, что при увеличении скорости течения жидкости или газа в среде самопроизвольно образуются многочисленные нелинейные фрактальные волны и обычные, линейные различных размеров, без наличия внешних, случайных, возмущающих среду сил и/или при их присутствии. Для расчёта подобных течений были созданы различные модели турбулентности. Волны появляются случайно. То есть их размер и амплитуда меняется хаотически в некотором интервале. Они возникают чаще всего либо на границе, у стенки, и/или при разрушении или опрокидывании волны. Они могут образоваться на струях. Экспериментально ее можно наблюдать на конце струи пара из электрочайника. Турбулентность экспериментально открыта английским инженером Рейнольдсом в 1883 году при изучении течения воды в трубах

Условие неразрывности струи предусматривает, что струя жидкости нигде не имеет разрывов. Частицы жидкости при стационарном течении движутся по линиям тока, поэтому боковую поверхность трубки тока жидкость не пересекает.

Уравнение неразрывности :

VS - const

Уравнение неразрывности : для идеальной жидкости в стационарных условиях произведение скорости на поперечное сечение трубки тока остается неизменным в любом сечении трубки.

Вывод: из уравнения неразрывности следует, что в более узком сечении трубки тока скорость должна быть больше, чем в более широком сечении.

Закон (уравнение) Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

$\tfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \mathrm{const}$

Здесь

$~\rho$ — плотность жидкости,

$~v$ — скорость потока,

$~h$ — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

$~p$ — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

$~g$ — ускорение свободного падения.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли^[1](не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли^[2]^[3] или интегралом Бернулли^[4]^[5].

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»^[6]).

Соотношение, близкое^[7] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы $h=0$ и уравнение Бернулли принимает вид: $\tfrac{\rho v^2}{2}+p=\mathrm{const}$ .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности $\rho$ : $v\tfrac{dv}{dx}=-\tfrac {1}{\rho}\cdot \tfrac {dp}{dx}$ .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового $(\rho g h)$ , статического $(p)$ и динамического $\left(\tfrac{\rho v^2}{2}\right)$ давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Закон Бернулли позволяет объяснитьэффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем на участке трубы большего диаметра, в результате чего наблюдается разница высот столбов жидкости $\Delta h$ ; бо́льшая часть этого перепада давлений обусловлена изменением скорости течения жидкости, и может быть вычислена по уравнению Бернулли

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

$\rho g h + p_0 = \frac{\rho v^2}{2} + p_0$ ,

где

$p_0$ — атмосферное давление,

$h$ — высота столба жидкости в сосуде,

$v$ — скорость истечения жидкости,

$z\, +\, \frac{p}{\rho g}$ — гидростатический напор (сумма геометрического напора z и пьезометрической высоты $\frac{p}{\rho g}$ ).

Отсюда: $v = \sqrt{2gh}$ . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты $h$ .

Часто уравнение Бернулли записывается в виде:

$Hd\, =\, z\, +\, \frac{p}{\rho g}\, +\, \frac{v^2}{2\,g}=\, \text{const}\,$

где

$Hd\,$ — гидродинамический напор,

$\frac{v^2}{2\,g}$ — скоростной напор.

7.1. Линии тока и трубка тока. Условие неразрывности струи

Течение жидкости изображается линиями тока - линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости частиц. Течение жидкости называется установившимся, стационарным, если скорости частиц в каждой точке потока со временем не изменяются (при этом условии линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости).

При стационарном течении линии тока остаются неизменными. Часть потока жидкости, ограниченная линиями тока, образует трубку тока. Частицы жидкости не выходят за пределы трубки тока, поэтому через любое ее сечение проходит одно и то же количество жидкости. Объем Q жидкости, протекающей за единицу времени через любое сечение S, перпендикулярное оси трубки тока, определяется формулой

где v - скорость движения частиц жидкости в данном сечении.

Для идеальной жидкости, не подверженной действию сил трения, скорости движения частиц во всех точках одного и того же поперечного сечения трубы одинаковы. Эта общая скорость и входит в уравнение (7.1).

На частицы реальной жидкости действуют силы трения со стороны стенок трубы и со стороны соседних частиц. Поэтому скорость

частиц жидкости в поперечном сечении трубы различна: она максимальна в центре трубы и уменьшается до нуля у ее стенок. В этом случае в формуле (7.1) v - этосредняя скорость течения жидкости в данном сечении.

Условие неразрывности струи: при стационарном течении несжимаемой жидкости через любые сечения трубки тока каждую секунду протекают одинаковые объемы жидкости, равные произведению площади сечения на среднюю скорость движения ее частиц.

Уравнение (7.1) выражает условие неразрывности струи. Оно устанавливает соотношение между скоростями течения жидкости в различных сечениях трубки тока:

Если жидкость движется по трубе переменного сечения, то скорость ее движения обратно пропорциональна площади сечения трубок (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Движение жидкости в трубе с разными сечениями. Длина стрелок изображает среднюю скорость течения жидкости

Площадь сечения пропорциональна квадрату диаметра трубки (S = πd²/4), поэтому если диаметр трубки в сечении С вдвое меньше, чем в сечении А, то площадь поперечного сечения С в четыре раза меньше, чем площадь сечения А. Следовательно, и скорость потока в сечении С будет в четыре раза больше, чем в сечении А.

Уравнение неразрывности струи при протекании крови в сосудах

Кровеносная система человека - это сложная замкнутая система эластичных трубок разного диаметра. В нее входят: аорта, артерии, артериолы, капилляры, венулы, вены. Из сердца кровь поступает в аорту, а оттуда распределяется по главным артериям, затем по

более мелким и в конце концов расходится по миллионам мелких капилляров. По венам кровь возвращается в сердце. (Один цикл движения крови длится в среднем 20 с. За сутки сердце перегоняет по всем сосудам до 10 000 л крови!) Скорость кровотока в разных сосудах различна. Ориентировочные значения этой скорости представлены в табл. 7.1.

Таблица 7.1. Скорость и давление крови в различных сосудах

На первый взгляд кажется, что приведенные значения противоречат уравнению неразрывности - в тонких капиллярах скорость кровотока примерно в 1000 меньше, чем в артериях. Однако это несоответствие кажущееся. Дело в том, что в табл. 7.1 приведен диаметр одного сосуда. Эта величина действительно уменьшается по мере разветвления. Однако суммарная площадь разветвления возрастает. Так, суммарная площадь всех капилляров (около 2000 см²) в сотни раз превышает площадь аорты - этим и объясняется такая малая скорость крови в капиллярах. Малая скорость кровотока в капиллярах необходима для обеспечения эффективного обмена между кровью и тканями.

7.2. Уравнение Бернулли

Для идеальной жидкости (сила трения полностью отсутствует) справедливо уравнение, которое было получено швейцарским математиком и физиком Даниилом Бернулли (1700-1782). Рассмотрим тонкую трубку тока и выделим в ней два произвольных сечения (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Параметры сечений в трубке тока

В общем случае эти сечения находятся на различных высотах (h₁ и h₂), а их площади различны (S₁ и S₂). Вследствие уравнения неразрывности различны будут и скорости течения жидкости в этих сечениях (v₁ и v₂). Обозначим давления жидкости в этих сечениях Р₁и Р₂ соответственно.

Используя закон сохранения механической энергии, можно доказать, что для этих сечений выполняется следующее соотношение:

Давление Р называют статическим. Это давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости. Его можно измерить манометром, который движется вместе с жидкостью. Величину ρv²/2 называют динамическим давлением. Оно обусловлено движением жидкости. Гидростатическое давление ρgh - это давление, создаваемое весом вертикального столба жидкости высотой h.

Уравнение Бернулли формулируется следующим образом:

При стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.

7.3. Следствия уравнения Бернулли

Горизонтальная трубка тока переменного сечения

При этом h₁ = h₂ и уравнение (7.3.) принимает вид

Отсюда следует, что статическое давление идеальной жидкости при течении по горизонтальной трубке возрастает там, где скорость ее уменьшается, и наоборот. Это можно продемонстрировать с помощью манометрических трубок, уровень поднятия жидкости в которых пропорционален статическому давлению (рис. 7.3). Видно, что в широком сечении (а), где скорость течения меньше, статическое давление больше, чем в узком сечении (б).

Наклонная трубка тока постоянного сечения

В такой трубке скорость жидкости везде одинакова (v = const), и уравнение (7.3) принимает вид

Следовательно, скорость истечения струи равна скорости тела при свободном падении с высоты h. Соотношение (7.9) - это формула Торричелли.

Рис. 7.3. Горизонтальная трубка переменного сечения

Рис. 7.4. Наклонная труба постоянного сечения

Рис. 7.5. Линия тока при истечении жидкости из небольшого отверстия широкого сосуда

Измерение скорости жидкости

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы (струи жидкости) одного сечения две трубки: 1) манометрическую трубку, плоскость отверстия которой расположена параллельно движению жидкости; 2) трубку, изогнутую под прямым углом навстречу движению жидкости (трубку Пито) (рис. 7.6).

В движущемся потоке жидкость в трубках поднимается на разную высоту. Давление под манометрической трубкой равно статическому давлению Р. Оно уравновешивается давлением атмосферы Р_а и давлением столба жидкости h₂:

Имея систему двух таких трубок, вычисляют скорость потока жидкости по формуле (7.10).

Рис. 7.6. Измерение скорости жидкости