Расчет надежности сложного объекта, по существу, является определением
истинности сложного высказывания. Использование аппарата математического
логики позволяет формализовать условия работоспособности сложных структур и
получать формулы для расчета надежности.
1. Если о системе можно утверждать, что она работоспособна, если рабо-
тоспособны ее элементы a и b, то можно сделать вывод о том, что работоспособ-
ность системы (событие с) и работоспособности элементов a и b (событие a и со-
бытие b) связаны между собой логическим уравнением работоспособности:
c = a ∧b.
Логическое уравнение работоспособности для данного случая может быть
представлено схемой последовательного соединения элементов a и b (рис. 3.3).
2. Если о системе можно утверждать, что она работоспособна, если рабо-
тоспособны ее элемент a или элемент b, можно сделать вывод о том, что работо-
способность системы (событие c) и работоспособности элементов a и b (событие a
и событие b) связаны между собой логическим уравнением работоспособности:
c = a ∨b .
Этому уравнению соответствует схема параллельного соединения элементов
a и b (рис. 3.4).
3. Если работоспособное состояние элемента обозначить через a , то нерабо-
тоспособное состояние этого элемента будет a . Логическое отрицание может
быть отражено в виде схемы инвертора (рис. 3.5).
4. Логические операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания - основные
операции, используемые в теории надежности, так как к ним могут быть сведены
все другие логические операции.
27
5. Сложную логическую функцию можно минимизировать, т.е. преобразо-
вать таким образом, что она будет содержать минимальное число членов.
6. Логические функции можно преобразовать в алгебраические функции, ес-
ли заменить все логические операции арифметическими по следующим правилам:
a ∨ b = a + b − a ⋅b ; a ∧ b = a ⋅b ; a = 1− a .
Логическая функция работоспособности ∧ F , у которой все логические опе-
рации заменены арифметическими, называется функцией работоспособности,
представленной в арифметическом виде a F .
Последовательность расчета надежности с использованием логических
схем. Чтобы получить формулу для вероятности работоспособного состояния
сложного объекта (функцию надежности), необходимо:
1) сформулировать словесно условие работоспособности системы;
2) на основании словесной формулировки записать логическую функцию
работоспособности ∧ F ;
3) минимизировать ∧ F (исключить повторяющиеся члены);
4) в логической функции работоспособности заменить логические опера-
ции арифметическими, т.е. получить функцию а F ;
5) в арифметической функции работоспособности заменить простые со-
бытия (простые высказывания) их вероятностями;
6) в полученную формулу, дающую связь между вероятностями состояний
элементов системы и вероятностью состояния системы, подставить числовые зна-
чения вероятностей состояний элементов. Решением полученного уравнения яв-
ляется численное значение вероятности работоспособного состояния сложной
системы.
