Докажите, что нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла
Формулировка:
Доказательство: Предположим, что положим . Согласно определению точных граней числового множества найдутся такие верхняя сумма S` и нижняя сумма s``, которые удовлетворяют неравенствам S` < K и s` > K
Отсюда следует, что S` < s``, что противоречит свойству III (Нижняя сумма произвольного разбиения не превосходит верхней суммы любого другого разбиения). Поэтому наше предположение неверно, и следовательно,
Формулировка:
Доказательство:
Докажите лемму Дарбу
Формулировка: то есть такое, что для любого разбиения сегмента у которого выполняются неравенства
Доказательство: приведем доказательство для верхних сумм.
Если M = m, то f(x) = const = M = m, и для любого разбиения сегмента [a, b] имеем: , и, следовательно, .
Пусть M > m. Зададим произвольное . Так как = inf S, то существует разбиение T1 сегмента [a, b], такое, что его верхняя сумма S1 удовлетворяет неравенству
Пусть разбиение Т1 содержит точек разбиения. Возьмем
И докажем, что верхняя сумма S любого разбиения Т, у которого , удовлетворяет неравенству . Это и будет означать, что
Рассмотрим произвольное разбиение T, у которого Объединим его с разбиением T1. Получим разбиение . Его верхнюю сумму обозначим S2. Согласно первому неравенству в
а поскольку
С другой стороны, согласно (при измельчении разбиения нижняя сумма не убывает, а верхняя не возрастает), а поскольку , то , или
Складывая неравенства, получаем , что и требовалось доказать.
