- Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a, b], то:
а) функция f(x)g(x) также интегрируема на сегменте [a, b];
б) если, кроме того, inf [a,b] g(x) > 0 (либо sup[a,b] g(x) < 0), то функция f(x)/g(x)также интегрируема на сегменте [a, b].
Запишите формулу среднего значения для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости.
функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a, b], .
Запишите формулу Ньютона – Лейбница и сформулируйте достаточные условия ее
применимости.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b]
Запишите формулу замены переменной для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости.
Пусть: 1) функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b]; 2) функция g(t) определена и имеет непрерывную производную на сегменте , причем при
Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости.
Пусть функции имеют на сегменте [a, b] непрерывные производные. Тогда справедливо равенство
Теоремы с доказательством
Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного интеграла.
Формулировка: Пусть функция x =φ(t) определена и дифференцируема на промежутке T и множеством ее значений является промежуток X. Пусть на X определена функция f(x), имеющая первообразную F(x). Тогда функция F(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t))φ`(t) на промежутке T.
Доказательство: Используя равенство F` (x) = f(x) и правило дифференцирования сложной функции, получаем:
что и доказывает утверждение теоремы.
Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла
Формулировка: Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке X и пусть функция имеет первообразную, то есть на промежутке X существует интеграл
Тогда интеграл
Также существует на промежутке X и выполняется
Доказательство: воспользуемся равенством
Откуда следует: . Функция имеет первообразную , функция имеет первообразную по условию теоремы. Следовательно, функция также имеет первообразную и при этом
Что и требовалось доказать.
Докажите, что для данного разбиения отрезка нижняя (верхняя) сумма является точной нижней(верхней) гранью множества интегральных сумм.
Формулировка: нижняя и верхняя суммы данного разбиения нижней и верхней гранями множества интегральных сумм этого разбиения.
Доказательство: Это следует из того, что точку на частичном сегменте можно выбрать так, что значение будет сколь угодно мало отличаться от (и также от ).
Пусть разбиение T` отрезка [a; b] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек. Докажите, что нижняя сумма функции f (x) для разбиения T′ не меньше, чем нижняя сумма для разбиения T. Получите оценку разности нижних сумм этих разбиений.
Формулировка: при измельчении разбиения нижняя сумма не убывает, а верхняя не возрастает.
Доказательство: Рассмотрим сначала случай, когда к разбиению добавлена только одна новая точка разбиения:. Докажем, что будет выполнено неравенство (неравенство s2s1 доказывается аналогично). Введем обозначения
Тогда
Поэтому
то есть . Отсюда следует, что если добавлено несколько новых точек разбиения, то неравенство также выполняется.
Пусть для разбиения пусть
И пусть разбиение получено путем добавления одной новой точки к разбиению . Тогда следует неравенство . Если разбиение T2 получено путем добавления p новых точек к разбиению T1, то
Докажите, что нижняя сумма функции f (x) для любого разбиения отрезка [a;b] не превосходит верхней суммы той же функции f(x) для любого другого разбиения T’ отрезка [a;b].
Формулировка: Нижняя сумма произвольного разбиения не превосходит верхней суммы любого другого разбиения
Доказательство: Пусть суммы Дарбу произвольных разбиений T1 и T2 равны s1, S1 и s2, S2. Требуется доказать, что .
Обозначим буквой T объединение разбиений T1 и T2. Пусть суммы Дарбу разбиения T равны s и S. Тогда, используя свойство II и неравенства , приходим к неравенствам
Из которых следует, что
Докажите, что множество нижних сумм функции f (x) для всевозможных разбиений отрезка [a;b] ограничено сверху.
Докажите, что множество верхних сумм функции f (x) для всевозможных разбиений отрезка [a;b] ограничено снизу
Формулировка: понятно
Доказательство: Любая нижняя сумма не превосходит какую-любо верхнюю сумму, и поэтому множество
