Деформация сдвига.

. Закрепим (например, приклеим) образец (кубик) снизу к абсолютно жесткому неподвижному основанию (показано штриховкой на рис.27.4б). К верхней грани приклеим абсолютно жесткую пластинку и приложим к ней в горизонтальном направлении силу F, куб при этом деформируется так, как показано на рисунке. Такая деформация называется сдвигом. При описанных выше условиях деформации в кубе однородные, все части куба деформируются одинаково.

                Из закона Гука для деформации сдвига F=kx свяжем тангенциальное напряжение  и угол  (рис.27.4б):

.

Связь между  и  линейная, коэффициент пропорциональности называется модулем сдвига G:

 

.                                         (27.8)

 

Работа силы F равна изменению потенциальной энергии упругой деформации:

 

.

 

Упрощение, которое мы сделали, справедливо для малых деформаций. Объемная плотность энергии упруго деформированного тела при сдвиге равна:

 

.                                        (27.9)

 

Поскольку в вертикальном направлении деформаций куба не будет, поэтому, не смотря на то, что картина напряжений в вертикальном направлении будет довольно сложной (рис.27.4в), с ними не будет связано никакого вклада в энергию упругой деформации.

                Найдем связь модуля сдвига с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона, поскольку последние, как мы уже отмечали, полностью определяют свойства изотропной среды. Для этого рассмотрим кубик, подвергнутый двойному сдвигу (рис.27.5а) после приложения нагрузки к противоположным ребрам куба.

Рис.27.5

Эта деформация – двойной сдвиг, более симметрична, чем рассмотренная выше. Упругие напряжения в каждой точке кубика одинаковы. Выберем два небольших кубика 1 и 2 одинакового объема. На кубик 1 действуют два равных по величине и противоположно направленных момента сил, под действием каждого из которых кубик деформируется, энергия упругой деформации будет складываться из энергий двух чистых сдвигов. В кубике 1 объемная плотность энергии упругой деформации в соответствии с принципом суперпозиции равна:

 

.

 

В кубике 2 деформация вдоль диагонали равна: . В направлении перпендикулярном диагонали деформация равна: . Тогда объемная плотность энергии упругой деформации для 2 кубика будет равна сумме объемных плотностей для каждой деформации в отдельности:

.

 

Поскольку угол между направлениями  и  равен Pi/4, . После подстановки напряжений и приравнивания объемных плотностей энергии получаем искомую связь между коэффициентами:

 

.                                                (27.10)

 

                Теперь вернемся к общему описанию деформаций в среде.

                При растяжении тонкого стержня величина смещения Ux некоторой точки стержня в выбранной нами системе координат (рис.27.5б) будет пропорциональна координате этой точки. Действительно, если выбрать точку в центре стержня, она не сместится, если же выбрать ее на конце стержня, смещение будет максимально и равно Dl/2. Тогда для произвольной точки , где  - относительная деформация в стержне. Учитывая, что деформации во всех остальных направлениях отсутствуют, можем написать уравнение, связывающее относительную деформацию с абсолютным перемещением:

 

.                                                       (27.11)

 

Два индекса в относительной деформации появляются потому, что она определяется проекцией градиента на ось x проекции абсолютной деформации тоже на ось x. Таким образом, видно, что относительная деформация тела в точке будет определяться тензором второго ранга. Остальные диагональные элементы тензора деформаций определяем аналогично. Осталось определить еще три независимых компоненты , поскольку тензор деформаций симметричен. Для чистого сдвига вдоль оси x (рис.27.4б) при выборе начала системы координат в центре кубика получаем для смещения произвольной молекулы: . Для чистого сдвига вдоль оси y:  . Компоненты тензора  мы можем записать в симметризованной форме: . А сам тензор относительных деформаций в общем виде будет определяться так:

 

.                             (27.12)

 

Диагональные элементы тензора вида (27.11) также получаются из этого общего определения.

Общие уравнения, связывающие любую компоненту тензора напряжений (напомню, что их всего шесть независимых) с упругими деформациями (этот тензор тоже имеет только шесть независимых компонент) - известный нам закон Гука, в анизотропной среде выглядит так:

 

,

 

где 36 параметров  - упругие постоянные, характеризующие анизотропный кристалл. Не все они являются независимыми, поскольку общее выражение для энергии упругой деформации – квадратичная форма вида  (27.7) будет содержать 6 слагаемых пропорциональных квадрату соответствующей деформации:  и 15 слагаемых в виде перекрестных сомножителей, число которых равно числу сочетаний из 6 элементов по 2: . Итак, для наименее симметричного кристалла существует 21 независимая упругая постоянная.

                В теории упругости связь напряжений и деформаций принято записывать в форме произведения тензоров:

 

,                                            (27.13)

 

где  - тензор модулей упругости (тензор четвертого ранга). Необходимость использования тензора четвертого ранга обусловлена формальными требованиями тензорной алгебры: без учета симметрии девять компонент тензора напряжений каждая определяются девятью компонентами тензора деформаций, поэтому для их связи необходимо 81 число, а это и есть тензор четвертого ранга.

Далее мы ограничимся рассмотрением изотропных сред, которые характеризуются, как мы уже говорили, только двумя независимыми параметрами, например, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона.

                В этом случае коэффициент пропорциональности между напряжением и относительной деформацией не может быть просто скаляром, поскольку тогда изотропная среда характеризовалась бы только одним параметром. Не вдаваясь в детали анализа геометрических проблем, приведем окончательный результат для связи тензора напряжений с тензором деформаций в изотропной среде:

 

,      (27.14)

 

где  - символ Кронекера.

                Покажем, что из этого общего уравнения получается закон Гука, рассмотренный в примере 1. В этом случае все напряжения кроме напряжения  равны нулю. Деформации . Тогда

                Собирая вместе уравнения: (27.12) подставляем в (27.14), а его в (27.2), можем получить уравнение для вектора перемещений при равновесии:

 

.                 (27.15)

 

Используя это уравнение, мы сможем решить любую задачу о неоднородных деформациях тела при любых внешних нагрузках, задаваемых граничными условиями.