Механика деформируемого твердого тела.

Далее мы будем рассматривать сплошную среду, молекулы которой не могут перемещаться на большие расстояния относительно своих соседей, а могут только незначительно смещаться при приложении внешних сил из положения равновесия, причем при снятии внешней нагрузки они возвращаются в равновесное состояние. Такой идеализированный объект называется упруго деформируемым твердым телом.

Описание деформаций. Рассмотрим однородный кубик и определим радиус-вектор произвольной молекулы (произвольного очень малого объема) в нем в отсутствии внешних сил (рис.27.1а). После приложения пары сил вдоль оси x (рис.27.1б), кубик растянется, выделенная молекула сместится на расстояние u1. После приложения пары сил вдоль оси y (рис.27.1в) она еще сместится на расстояние u2.

Рис.27.1

Результирующее смещение будет равно: u=u1+u2. Если смещение u2 не зависит от пары сил F1, а смещение u1 не зависит от пары сил F2, то каждую из деформаций мы можем рассматривать независимо, а результирующую можем считать равной сумме отдельных деформаций под действием соответствующей пары сил. Это утверждение носит название принципа суперпозиции деформаций. Он, как правило, справедлив для малых деформаций. Из принципа суперпозиции вытекает, что потенциальная энергия деформированного тела равна сумме работ каждой пары сил при деформации тела. Прежде чем продолжить описание деформаций в среде, определим напряжения в ней.

Описание напряжений. Когда мы говорили о параметрах сплошной среды (газообразной, жидкой), то для определения напряжений в ней мы брали небольшой диск и помещали в среду (рис.21.2). Сделать это в твердом теле невозможно, поэтому для определения напряжений в нем выделим элемент объема dV- на одной из граней которого определим упругие напряжения после того, как к телу приложены внешние нагрузки. Выделенная грань характеризуется вектором dS. Реакция со стороны внешней среды dF, действующая на выделенный объем на этой грани, может быть направлена произвольно, поскольку на выделенной грани действуют в общем случае и нормальные и тангенциальные напряжения. Выберем декартову систему координат, в которой вектор dS=dSx+dSy+dSz (рис.27.2а).

Тогда мы можем определить реакцию со стороны внешней среды на каждой из этих трех элементарных площадок следующим образом:

Рис.27.2

Здесь - нормальное напряжение на площадке dSx; - тангенциальное напряжение на площадке dSx, направленное вдоль оси y; - тангенциальное напряжение на площадке dSx, направленное вдоль оси z и так далее.

При равновесии тела вектор dF=dFx+dFy+dFz (пренебрегаем силой тяжести, действующей на выделенный объем). Действительно, четыре элементарные площадки - четыре грани, ограничивающие некоторый объем, находящийся в равновесии. Поэтому сила, действующая на одну из граней, равна векторной сумме всех сил, действующих на другие грани.

Итак, для вектора силы dF, действующей на площадке dS, получаем:

.

Пользуясь соглашением о суммировании (§15), можем записать:

, (27.1)

где  - тензор напряжений (тензор второго ранга). Тензор напряжений симметричен. Равенство и иллюстрирует рисунок 27.2б. Суммарный момент сил относительно оси OO', параллельной оси x, будет определяться только теми силами, которые показаны на рисунке. Он будет равен нулю, поскольку выделенный объем находится в равновесии:

 . Рассматривая равенство нулю моментов сил, действующих на кубик, относительно осей, параллельных осям y и z, убеждаемся в равенстве и .

                Далее определим общие уравнения, которые описывают упруго деформированную среду, находящуюся в равновесии. Для этого рассмотрим равновесие кубика объема , площадь каждой грани которого  (рис.27.3а). Поскольку опыта работы с тензорами у нас пока немного детально определим силу,

Рис.27.3

действующую на каждую грань кубика. Индексы граней указаны на рисунке 27.3б.

Если просуммировать силы, действующие на все шесть граней куба, то получим результирующую силу, действующую на него. Кроме этого добавим к сумме и вычтем , , , , , . Заменим все появившиеся разности слагаемыми вида:

 и так далее.

Результирующая сила в равновесии будет равна нулю:

Равны нулю также моменты сил относительно всех трех осей x',y',z'. Из равенства нулю суммарного момента сил относительно оси x' получим:

Это условие справедливо, поскольку, например, изменение тангенциальных напряжений и  с изменением координаты x на величину dx – бесконечно малая величина по сравнению с самими напряжениями. Проводя аналогичные рассуждения для двух других осей, приходим к выводу, что   и .

Окончательно получаем следующие условия равновесия, которые выполняются независимо, поскольку из равенства нулю вектора результирующей силы, действующей на объем, следует равенство нулю каждой из ее проекций:

;.

Пользуясь соглашением о суммировании, это условие компактно записывается в следующей форме:

(27.2)

Для неравновесного состояния результирующая сила, действующая на выделенный объем dV, по второму закону Ньютона будет равна произведению его массы на ускорение (учитываем также и силу тяжести):

.

В пределах объема dV смещения всех атомов считаем одинаковыми. Разделив уравнение на dV, получим следующее уравнение соответствующее неравновесному состоянию:

(27.3)

Прежде чем вернемся к общему описанию деформаций упругой среды, которое оказывается весьма сложным (эти сложности не связаны с какими-то новыми законами, они обусловлены исключительно геометрическими проблемами) рассмотрим две простейшие деформации – растяжение и сдвиг.

Рис.27.4