Уравнение Навье-Стокса. Ламинарное течение вязкой жидкости в круглой трубе

Теперь перейдем к описанию движения вязкой среды. Если бросить в любой сплошной среде (за исключением тех, которые описаны в начале § 25) любое тело, то оно спустя некоторое время остановиться (если на него не действуют никакие другие силы). Это произойдет даже без учета лобового сопротивления, которое может появиться и в идеальной жидкости. Для того чтобы понять действие этой новой силы сопротивления можем поставить такой эксперимент: в сплошной среде в однородном поле силы тяжести (например, вода в прямоугольном стакане) бросим очень тонкую пластинку (так чтобы ее плоскость была перпендикулярна поверхности воды). Очень скоро она будет двигаться с постоянной скоростью Vo, что возможно только тогда, когда разность сил тяжести и Архимеда компенсируется новой силой сопротивления - силой трения на поверхности пластинки о жидкость Ft (рис.26.1а). Слой жидкости, примыкающий к пластинке, будет двигаться со скоростью пластинки, по мере удаления от нее слои будут двигаться со все меньшей скоростью.

 

Рис.26.1

Вся область, в которой среда приходит в упорядоченное движение вместе с пластинкой называется пограничным слоем толщины , она растет с увеличением вязкости среды. При стремлении вязкости к нулю, -0 и в идеальной жидкости на поверхности обтекаемого тела скорость меняется скачком от нуля, до конечной величины, равной скорости потока.

Сила Ft пропорциональна площади поверхности пластинки, а также тому насколько быстро меняется скорость потока (он направлен по касательной к поверхности пластинки) по мере удаления от поверхности – результат, экспериментально установленный Ньютоном:

 

.                                                  (26.1)

 

Коэффициент пропорциональности  называют вязкостью среды. В формуле (26.1) мы используем значение градиента скорости на поверхности пластинки. В общем случае он может меняться по мере удаления от поверхности пластинки.

                При медленном движении по мере увеличения вязкости толщина пограничного слоя  может оказаться равной половине расстояния между стенками стакана. Тогда движущиеся слои достигнут поверхности стакана, которая неподвижна и остановятся. Градиент скорости будет равен:

 

 

и при еще большем увеличении вязкости мы получим линейную зависимость силы сопротивления от скорости падения пластинки .

                Геометрические проблемы для общего решения задачи о движении вязкой сплошной среды довольно велики, поэтому несколько упростим ее. Ограничимся рассмотрением вязкой несжимаемой жидкости. Полученные решения будут применимы практически во всех случаях для жидкостей, для газов же они естественно неприменимы в том случае, если плотность в потоке существенно меняется.

                В слое среды, движущемся со скоростью v, выделим элемент объема dV (рис.26.1б). Направление, задаваемое единичным вектором n, перпендикулярно скорости движущегося слоя и совпадает с направлением, вдоль которого скорость изменяется. Поверхность dS1 примыкает  к слою с меньшей скоростью, а поверхность dS2- к слою с большей скоростью. На этих поверхностях будут действовать тангенциальные силы, определяемые соотношением (26.1). Определим результирующую тангенциальную силу, действующую на объем dV:

 

.

 

Тогда сила вязкого трения, действующая на единицу объема, будет равна:

.

При выводе этого соотношения мы использовали следующий результат векторного анализа. Аналогично определению проекции градиента скалярного поля (например, p) на направление n, равного , можно определить скорость изменения векторного поля вдоль направления n. В нашем случае скорость изменения скорости потока в направлении n равна . Это новое векторное поле, для которого мы опять определяем скорость его изменения в том же направлении. Дифференциальный оператор  равен:

 

,                                (26.2)

 

он называется оператором Лапласа. Последнее обозначение этого дифференциального оператора второго порядка не путайте с часто используемым нами обозначением конечного изменения какой-либо величины.

                Теперь можем записать общее уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости, добавляя к уравнению Эйлера еще одно слагаемое:

 

.             (26.3)

 

Это уравнение называют уравнением Навье-Стокса (C.Navier, 1827; G.Stokes, 1845). Отношение  называют кинематической вязкостью.

                Применим уравнение Навье-Стокса для решения некоторых простых задач.

 

                1.Стационарное течение жидкости по прямолинейной трубе с круглым сечением радиуса R. Задача имеет цилиндрическую симметрию, поэтому решать ее удобнее в цилиндрической системе координат. Направляем ось z по оси трубы (рис.26.2а).

 

Рис.26.2

 

Если поток в трубе ламинарный, то скорость в любой точке параллельна оси z и зависит только от одной цилиндрической координаты, которую здесь для избегания путаницы с плотностью мы обозначили r: v=v(r)k. Давление в каждой точке сечения будет одинаково, а его градиент будет постоянен и направлен по оси z в отрицательном направлении. Если взять два сечения на расстоянии l и измерить разность давлений между ними, то проекция градиента на ось z будет равна:.

В операторе Гамильтона в цилиндрической системе координат  для поля скоростей остается только первое слагаемое, и скалярное произведение  оказывается равным нулю.

В операторе Лапласа  в рассматриваемой задаче также остается только первое слагаемое.

Поскольку аргумент остается один – r, частные производные заменяем полными и окончательно получаем дифференциальное уравнение:

.

Первое интегрирование дает нам уравнение:

.

Поскольку dv/dr в каждой точке сечения величина конечная, стремящаяся к нулю в центре сечения, то из условия 

следует, что C1=0. Второе интегрирование дает результат:

 

.

 

Постоянная интегрирования v0 - скорость потока на оси трубы (рис.26.2б). Поскольку скорость у стенки трубы равна нулю, окончательно получим распределение скоростей по сечению в виде:

 

.

 

Зная его, можем определить массу жидкости, протекающей через трубу в единицу времени  (уравнение 22.1):

 

.       (26.4)

 

Этот результат называется формулой Пуазейля (J.Poiseuille, 1840), который экспериментально установил, что величина  линейно зависит от разности давлений на входе и выходе трубы и пропорциональна четвертой степени диаметра трубы. Окончательная формула была уточнена несколько позже Д.Стоксом.

По мере увеличения скорости потока в трубе, начиная с некоторого значения, формула (26.4) перестает давать правильный результат. Это происходит тогда, когда ламинарное течение становится турбулентным. Эту проблему потери устойчивости потока в трубе экспериментально исследовал Рейнольдс (O.Reynolds, 1876-83) и определил критерий перехода от ламинарного потока к турбулентному.

В стационарном потоке для элемента объема dV можно определить отношение его ускорения( )v к силе вязкого трения , действующей на этот элемент объема. (Напомню, что все силы в уравнении (26.3) отнесены к массе выделенного объема.) Это отношение называют числом Рейнольдса Re. При малых значениях Re – поток ламинарный, при условии  поток теряет устойчивость и становится турбулентным. Критическое значение числа Рейнольдса можно определить экспериментально. Для течения по трубе круглого сечения  .

Ускорение v() имеет порядок величины v^2/R, поскольку единственный характеристический размер, который можно использовать для оценки градиента – радиус трубы. Слагаемое  имеет порядок величины , тогда число Рейнольдса можно оценить следующим образом:

                                                   (26.5)

 

где под R подразумеваем какой-либо характеристический размер в решаемой задаче.

 

                2.Обтекание неподвижного шара радиуса R медленным вязким стационарным потоком, который на большом удалении от него движется со скоростью Vo (рис.26.3а).

Это не абстрактная задача, реакция F, которая действует на шар со стороны потока, может быть уравновешена, например, если шар имеет магнитный момент и находится в неоднородном магнитном поле.

 

Рис.26.3

Общее решение уравнения Навье-Стокса получить довольно сложно, поэтому несколько упростим его, решая задачу для малых чисел Рейнольдса. Если , то уравнение Навье-Стокса для стационарного течения упрощается (также пренебрегаем влиянием гравитационного поля):

.                                          (26.6)

 

Итак, окончательно реакция со стороны потока при медленном обтекании равна:

 

.                                                (26.10)

 

Этот результат получен Стоксом, поэтому формула (26.10) носит его имя.

                С увеличением скорости поток теряет устойчивость. Ламинарное течение переходит в турбулентное течение, и формула (26.10) уже не дает правильного значения силы сопротивления.