Равновесное состояние

Рассмотрим неподвижную среду, находящуюся в гравитационном поле, характеризуемом вектором g. В этом случае на элемент объема dVбудут действовать две силы – сила тяжести и сила, обусловленная неоднородностью давления (21.2), сумма которых равна нулю: pDVg-gradPDV=0. Отнеся эти силы к единице объема, получим уравнение:

,                                          (24.1)

описывающее равновесное состояние среды. Используем его для решения некоторых частных задач.

1.Несжимаемая жидкость в однородном гравитационном поле (вода озер, мирового океана). Определим, как меняется давление в ней при погружении (рис.24.1а).

Рис.24.1

Используя уравнение (24.1), в этом случае получим . После интегрирования определим давление на глубине z:

,                                        (24.2)

где Po - давление на поверхности воды (~10^5 Па). Видно, что давление при погружении быстро растет, оно удваивается уже на глубине ~10 метров. При работе человека под водой приходится использовать либо жесткие, прочные конструкции – батискафы, подводные лодки и т.д., либо увеличивать давление газа для дыхания в мягких водолазных костюмах.

2.Сжимаемая жидкость в ультрацентрифуге. При проведении некоторых исследований экспериментаторы пытаются разделить вещества, очень незначительно различающиеся по плотности (коллоидные растворы, макромолекулы белков), а также осадить очень малые твердофазные частицы из растворов (суспензии). Для этого смесь помещается в пробирку и вращается с огромной угловой скоростью (до 104 рад/с). Если перейти в неинерциальную систему отсчета, связанную с пробиркой (рис.24.1б), то приходим к задаче статики. В ней поле сил инерции характеризуется вектором  . Используя уравнения (24.1) и (21.3), получим:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим зависимость плотности жидкости от координаты p(r):

.                                 (24.3)

Оценим относительную разность плотностей воды на оси и в конце пробирки длиной 10 см, вращающейся с угловой скоростью 10^4 рад/с: . Получили существенно различающиеся значения плотности.

3.Барометрическая формула. Для изотермической атмосферы (для простоты состоящей из одного газа) в однородном поле силы тяжести можем проинтегрировать уравнение (24.1) воспользовавшись, например, уравнением состояния идеального газа. Начало системы координат выбираем на поверхности Земли, ось z направляем вверх, тогда

,

где m - масса одной молекулы газа, k – постоянная Больцмана, M- молярная масса газа. После интегрирования получаем зависимость давления газа от высоты в виде:

,                                 (24.4)

где Po - давление у поверхности Земли. Поскольку давление идеального газа при постоянной температуре пропорционально концентрации молекул, для ее зависимости от высоты получим результат аналогичный (24.4).

В заключение рассмотрим проблему устойчивости равновесия сплошной среды на примере идеального газа в поле силы тяжести, температура которого с высотой меняется.

Рис.24.2

 Изменение температуры при перемещении в газе на расстояние dz (рис.24.2а) равно dT=gradt dz. Если газ в объеме dV быстро переместится на расстояние dz вверх (в объем показанный пунктиром на рис.24.2а) и тепловое равновесие с газом на этой высоте не успеет установиться, то он расширится в адиабатических условиях и совершит работу. Она будет равна убыли его внутренней энергии: . Здесь v - объем газа отнесенный к одному молю, а dTa - изменение температуры сместившейся массы газа за счет адиабатического расширения, а не за счет наличия градиента температуры и установления теплового равновесия.

Если градиент температуры положителен (она растет с высотой), то газ в сместившемся объеме имеет температуру меньшую температуры окружающей среды, давление его будет после адиабатического расширения таким же, следовательно, концентрация молекул газа и его плотность будет больше (P=nkT=pRT/M). Он будет более тяжелым и вернется в исходное положение. При смещении объема dV вниз он нагреется за счет адиабатического сжатия, его плотность станет меньше и он поднимется в исходное положение. Равновесие среды будет устойчивым.

При отрицательном градиенте температуры возможна потеря устойчивости среды. Если изменение температуры при смещении объема dV вверх за счет адиабатического расширения dTa  будет меньше dT, то равновесное состояние будет сохраняться (рис.24.2б). Если же dTa>dT(учтите, что обе величины отрицательны), то после адиабатического расширения плотность газа будет меньше плотности окружающего (более холодного) газа и сместившийся объем будет продолжать подниматься, удаляясь от начального положения. Сплошная среда потеряет устойчивость, она придет в движение, которое называется конвекцией.

Итак,  для появления конвекции необходимо, чтобы градиент температуры в газе был меньше (с учетом знака) критического значения:

.                             (24.5)

Для определения градиента мольного объема воспользуемся уравнением состояния: PV=RT. Тогда дифференцируя уравнение по z, определим градиент мольного объема:

.

После подстановки этого градиента и градиента давления в условие (24.5) получим:

.

Учитывая, что  и , окончательно получим условие потери устойчивости газообразной сплошной среды в виде:

.                                                  (24.6)

Градиент должен быть отрицательным, меньшим отрицательного числа -Mg/cp.

Сделаем численную оценку для воздуха:

.

При вычислениях мы использовали значение теплоемкости, выраженное через отношение = 1.4 для воздуха. Итак, если при подъеме в воздухе на 100 метров температура падает более чем на 1К, воздушная среда становится неустойчивой, в ней появляются в некоторых местах восходящие потоки, в некоторых – нисходящие, они замыкаются и  у поверхности Земли потоки направлены вдоль нее.

Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии при этом, естественно, не нарушаются.  В частности, если появляется восходящий поток, то его импульс будет равен тому импульсу, который получила Земля в противоположном направлении. При определении суммарного момента импульса, образовавшихся в атмосфере вихрей (ураганов) необходимо учитывать изменение момента импульса вращающейся Земли. На энергетический баланс процессов в атмосфере наибольшее влияние оказывает поток энергии от Солнца.