Векторное поле скоростей.

В среде неподвижной как целое, среднее значение скоростей всех молекул в пределах объема dV будет равно нулю. В движущемся потоке это среднее значение v уже не будет равно нулю. Назовем эту скорость скоростью потока в данной точке пространства (где находится элемент объема dV) в данный момент времени v=v(x,y,z,t)=v(r,t). Эта функция представляет собой новый математический объект – векторное поле скоростей.

В дальнейшем для нас больший интерес будет представлять другое векторное поле, связанное с импульсом среды. Импульс объема dV будет равен: dp=dmv, разделив его на объем dV получим импульс единицы объема движущейся среды. Назовем эту величину импульсом единицы объема или плотностью импульса среды:

.

На рис.21.1 объем ограничивает замкнутая поверхность S. Разделим ее на малые участки dS. С каждым из них мы можем связать вектор элементарной площадки  следующим образом:

dS=ndS,

где вектор n - единичный вектор, направленный по нормали к площадке dS.

Масса вещества dm переносимая через эту площадку в единицу времени (поток вещества) будет равна скалярному произведению плотности импульса на вектор dS:

(22.1)

Поток вещества через замкнутую поверхность S(масса вещества переносимая через нее в единицу времени) будет равен интегралу по этой поверхности:

(22.2)

Символ окружность в центре знака интеграла означает интегрирование по замкнутой поверхности. В соотношениях (22.1) и (22.2) масса dm- величина более высокого порядка малости по сравнению с массой dms. Если под переменной ms подразумевать массу вещества, ограниченную замкнутой поверхностью S, то в уравнении (22.2) появится знак минус. Полную производную по времени заменим частной производной, считая, что объем ограниченный замкнутой поверхностью S, неподвижен:

.

С любым векторным полем мы можем связать скалярное поле его дивергенции. Дивергенция (от латинского di-verto – расходиться) векторного поля (p v) в определенной точке пространства определяется как предел отношения потока вектора ( p v) через замкнутую поверхность к объему ей ограниченному (интересующая нас точка находится в пределах этого объема, он стягивается при уменьшении к этой точке):

(22.3)

Положительное значение дивергенции в некоторой точке стационарного потока говорит нам о том, что в ней есть источник вещества, она является источником. Например, в речном потоке могут быть точки на дне реки, где бьют ключи из подземных источников. В этих точках дивергенция векторного поля (p v) положительна.  Если в реку опущена труба, через которую делают забор воды, то точка на срезе трубы еще может быть включена в векторное поле речного потока (поток в трубе рассматриваем отдельно), дивергенция в ней будет отрицательна.

В потоке без источников и стоков отличие от нуля в какой-либо точке  div(p v) приводит к изменению со временем плотности:

(22.4)

Рис.22.1

Определим дивергенцию произвольного векторного поля A в декартовой системе координат.

Пусть в точке задаваемой радиус-вектором r вектор A направлен так, что он составляет с осями системы координат углы меньшие Pi/2 (рис.22.1). Поместим эту точку в центре кубика с ребрами dx,dy,dz . Элементарные площадки dS1и dS2 перпендикулярны оси Ox (вектор OS1параллелен оси Ox, а вектор OS2- антипараллелен ей). Тогда поток вектора A через площадку dS1положителен, а через площадку dS2- отрицателен (такой же результат получим для осей y и z):

.

Мы получили выражение для дивергенции векторного поля в декартовой системе координат, которое может быть записано с использованием оператора Гамильтона  в виде скалярного произведения:

(22.5)

Если объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S, разбить на две части, первая будет ограничена замкнутой поверхностью So+S1, вторая - So+S2, тогда

.

Видно, что поток через замкнутую поверхность S будет равен сумме потоков через замкнутые поверхности, ограничивающие объемы, на которые мы разбили объем V. Тот же результат мы получим, разбив объем на множество малых соприкасающихся объемов DVi:

.

Используя этот результат и определение дивергенции мы можем доказать теорему Гаусса:

.

После предельного перехода при устремлении DVi к нулю справа получим интеграл, равенство станет точным:

(22.6)

Итак, поток вектора A через замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции вектора A, вычисленному по объему V, который ограничивает замкнутая поверхность S. Равенство (22.6) называется теоремой Гаусса, она справедлива для любого векторного поля.

При движении сплошной среды для наглядного представления о векторном поле скоростей используем понятие линии тока – линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора скорости потока в этой точке. При стационарном движении траектория любой частицы в потоке совпадает с линией тока. Множество линий тока, проходящих через замкнутую кривую, образуют трубку тока. В медленном стационарном потоке частицы, движущиеся в трубке тока, не выходят за ее пределы, такое течение не перемешивающихся слоев называется ламинарным (от латинского lamina – пластинка). При увеличении скорости потока или при обтекании препятствия возможна потеря устойчивости потока, движение частиц среды становится менее упорядоченным, в предельном случае хаотическим (движение воды после падения водопада). В менее упорядоченном, но не полностью хаотическом движении, которое называют турбулентным, мы можем выделить вихревое движение частиц. На фотографии Вы видите вихри (некоторые из них показаны стрелками), которые образовались в Неве после обтекания опоры Дворцового моста.

Для описания подобного вихревого движения введем понятие циркуляции вектора v по замкнутому контуру L:

На фотографии потока показан контур L, циркуляция по которому не равна нулю.

Отметим аддитивность циркуляции: циркуляция по контуру L (рис.22.2а)

будет равна сумме циркуляций по контурам L1 и L2, поскольку интеграл на участке ab мы вычисляем дважды, проходя его в противоположных направлениях.

Рис.22.2

Если разбить контур на множество мелких контуров (рис.22.2б), то

.

После определения циркуляции определим новое векторное поле ротора v( r t) (от латинского rotation – круговое движение). В окрестностях каждой точки потока  выбираем замкнутый контур, находим циркуляцию скорости v по нему, делим на площадь, ограниченную контуром. Находим предел отношения

(22.7)

который даст нам значение проекции нового вектора rotv на  направление вектора dS. При вычислении циркуляции направление обхода контура выбираем так, как показано на рис.22.3а. При этом DS->0 так, что контур стягивается к той точке, rotv в которой мы хотим определить.

Рис.22.3

Для нахождения проекций вектора rotv в декартовой системе координат нам нужно проделать подобную операцию для трех площадок dSx,dSy,dSz (рис.22.3б). В частности, для проекции на ось x получим (рис.22.3в):

Удобнее всего записать вектор rotv с помощью определителя или векторного произведения с использованием оператора Гамильтона:

(22.8)

Пользуясь определением циркуляции и ее аддитивностью можем доказать для произвольного векторного поля теорему Стокса:

.

После предельного перехода при условии DSi-> справа получим поверхностный интеграл, и равенство станет точным:

(22.9)

Итак, циркуляция вектора A по замкнутому контуру L равна потоку вектора rotA через замкнутую поверхность S, ограниченную контуром L. Равенство (22.9) – теорема Стокса, она справедлива для любого векторного поля.

Всякое произвольное векторное поле A мы можем представить в виде суммы двух полей – потенциального A1, равного градиенту некоторого скалярного поля, и вихревого A2: A=A1+A2. Для первого в каждой точке пространства выполняется условие rotA1=0, для второго - divA2=0. Векторное поле скоростей в потоке воды в Неве, показанное на фотографии, также может быть представлено в виде суммы двух полей. Первое поле v1 можем считать потенциальным, если пренебрежем внутренним трением в воде, второе поле v2 будет иметь отношение к вихрям в потоке.