Параметры сплошной среды

Общий подход при решении задач динамики для сплошных сред тот же, который мы использовали при решении задачи о движении твердого тела. Разбиваем среду на малые элементы объема, один из которых DV (рис.21.1), суммарная масса всех молекул в нем равна Dm. Определим среднюю плотность среды p в объеме v как отношение Dm/DV.

Рис.21.1

В разных точках пространства плотность может быть разной, тогда плотность среды в определенной точке пространства может быть определена как предел отношения:

При вычислении этого предела объем dV не может стремиться ко сколь угодно малому значению, в его пределах должно быть достаточно большое число молекул, такое, чтобы в однородной среде мы получали одно и тоже значение плотности в разных точках пространства.

При характеристике среды мы в дальнейшем будем различать три случая: неподвижную среду, стационарное движение среды (такое движение при котором любой параметр среды в любой точке пространства остается неизменным) и нестационарное движение среды (в этом случае параметры среды меняются со временем). В последнем случае плотность будет функцией координат и времени p=p(x.y.z.t)=p(r,t).

Молекулы вещества всегда участвуют в хаотическом (тепловом) движении. Будем относить кинетическую энергию его к внутренней энергии среды. Внутренняя энергия единицы объема зависит от свойств среды и температуры T. Последний параметр также представляет собой  скалярное поле T(x,y,z) в стационарном случае и T(x,y,z,t) в общем случае. Параметр T необходим для использования закона сохранения энергии при анализе движения сплошной среды. В дальнейшем мы ограничимся, в основном, изотермическими условиями, при которых внутренняя энергия меняться не будет.

Если мы возьмем маленький диск, поместим его в сплошную среду, то на него будет действовать со стороны этой среды реакция dF(рис.21.2). Она может состоять из двух составляющих: нормальной dFnи тангенциальной dFt. Эти силы, отнесенные к единичной поверхности, называются нормальными и тангенциальными напряжениями: . В неподвижной газообразной или жидкой среде тангенциальные напряжения всегда будет равны нулю. Нормальное же напряжение будет равно разности давлений на противоположных торцах диска Dp. Нормальная реакция, действующая на один из торцов диска со стороны сплошной среды, отнесенная к его площади, определяет давление p в среде.

Рис.21.2

Давление будет скалярной функцией координат для неподвижной среды и при стационарном движении. В общем случае оно будет зависеть еще и от времени: p=p(x,y,z.t)=p(r,t).

Со скалярным полем p(x,y,z,t) связано векторное поле его градиента. Для произвольного элемента объема dV=dxdydz определим его произведение на  градиент давления gradp:

.

Мы учли, что изменение давления вдоль оси x равно:

.

Для направлений вдоль оси y и z получаем аналогичные результаты. Итак, сила, действующая на единицу объема среды fp(их может быть много, мы определяем только ту, которая обусловлена неоднородностью давления), равна антиградиенту давления:

Параметры, характеризующие среду в каждой точке - p,P,T, связаны между собой. Уравнение их связывающее называется уравнением состояния: F(P,p,T).  Для каждой упрощенной модели получаем свое уравнение состояния. Одно из них Вам уже известно из школьного курса физики – уравнение состояния идеального газа: P=p RT/M.  С другими познакомимся позже, сейчас пока мы ограничимся решением задач, в которых оно будет использоваться в параметрической форме. Например, мы можем связать плотность и давление, определяя коэффициент сжимаемости в изотермических условиях:

Для воды он равен 0.49*10^-9 Па:-1, это очень малая величина, поэтому многие задачи о движении жидкостей можно решать, считая их несжимаемыми.