Вынужденные колебания

Рассмотрим колебания осциллятора под действием внешней вынуждающей колебания силы, меняющейся по гармоническому закону c частотой Ω:

.

Тогда уравнение, описывающее осциллятор, будет выглядеть так:

.                                     (20.1)

После деления на массу тела, обозначив, получим неоднородное дифференциальное уравнение:

.                                   (20.2)

Его решением будет сумма двух решений:.

Первое слагаемое – решение соответствующего однородного уравнения (без правой части), которое мы уже знаем: .

Второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Найдем его. Для этого перейдем к дифференциальному уравнению с комплексными функциями, заменив в правой части гармоническую функцию на экспоненциальную функцию, поскольку :

.

Ищем частное решение в виде , тогда , а . После подстановки производных и сокращения общего, не равного нулю множителя , получаем характеристическое уравнение:

,

из которого Zo равно:

Приведем его к стандартной форме, избавившись от мнимой единицы в знаменателе:

.

Представим комплексное число Zo в экспоненциальной форме:. Тогда

 и

.

Окончательно для частного решения неоднородного уравнения получим:

,

где  а .(20.3)

Проведем анализ полученного решения. Пусть в момент времени t=0 включается внешняя сила F, которая меняется по гармоническому закону. Со временем, вклад в общее решение x1(t) будет экспоненциально убывать. При условии, что . Слагаемое x2(t) будет описывать установившиеся колебания с частотой , фаза которых будет отставать от фазы колебаний внешней силы F на величину . Амплитуда установившихся колебаний p=x20 будет зависеть от частоты .

 При частоте стремящейся к нулю () амплитудная величина смещения оказывается равной:

,

что совпадает со статическим смещением из положения равновесия под действием постоянной силы (закон Гука).

При частоте , называемой резонансной частотой, амплитуда установившихся колебаний будет максимальной. Условие экстремума функции x20():

.

Поскольку при резонансе , для резонансной частоты получаем следующее значение:

.                                      (20.4)

После подстановки этой частоты в выражение для амплитудного смещения                x20()получим амплитуду резонансных колебаний:

.

Отношение этой амплитуды к статическому смещению будет равно:

.

Если затухание мало (при условии), то это отношение оказывается равным добротности осциллятора:

.

На рис.20.1 изображены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты, вынуждающей колебания силы, для различных коэффициентов затухания. В соответствии с выражением (20.4) чем больше затухание, тем меньше резонансная частота.

Проанализируем зависимость сдвига фазы  вынужденных колебаний от частоты, вынуждающей колебания силы .

При частоте ->, сдвиг фазы также стремится к нулю - ->.

Рис.20.1

                При частоте ->o 

,

а сдвиг фазы будет равен Pi/2. При частоте ->бескон.

,

причем к нулю это выражение будет стремиться со стороны отрицательных значений. Тогда, при условии ->бескон, сдвиг фазы будет стремиться к значению, равному Pi.

На рис.20.2 изображена зависимость фазового сдвига от частоты вынужденных колебаний  для трех различных коэффициентов затухания. Графики на рис. 20.1 и 20.2 построены для резонансной частоты  и коэффициентов затухания , равных 4,5,8 c^-1.

Рис.20.2

В заключение приведем добротности некоторых осцилляторов (таблица 20.1). Для камертона приведены различные частоты: 436 Гц –“петербургский камертон” конца 18 века, 435 Гц – международный эталон высоты звука (Вена, 1885), 440 Гц – международный эталон принятый в настоящее время.

Таблица 20.1