Затухающие колебания

Если на тело, которое колеблется в области минимума потенциальной энергии (изучаем тот же осциллятор, что и в §17), действует сила сопротивления, то полная энергия тела уменьшается:

.

Для дифференциального уравнения, описывающего колебания в этом случае, получим:

                      (19.1)

Среди всего многообразия сил сопротивления оценим силу сопротивления, действующую на тело (диск площадью S) при движении со скоростью v в газе, концентрация молекул которого равна n (рис.19.1).

Рис.19.1

Если скорость диска много больше скорости молекул газа Vo, то сила сопротивления, равная импульсу, передаваемому молекулами при ударах (считаем их абсолютно упругими) в единицу времени, будет пропорциональна квадрату скорости:

.

Если скорость молекул газа много больше скорости движения тела, то давление газа, пропорциональное квадрату скорости молекул, будет различным для левой и правой сторон диска:

.

Поскольку средние скорости теплового движения молекул газа составляют сотни метров в секунду, то для анализа затухающих колебаний во многих случаях мы можем считать силу сопротивления пропорциональной скорости тела:

.

Тогда уравнение гармонического осциллятора с затуханием будет иметь вид:

.                                       (19.2)

Разделим каждое слагаемое на массу частицы и используем следующие обозначения:

.

Коэффициент  называют коэффициентом затухания. После этих преобразований уравнение гармонического осциллятора с затуханием примет вид:

.                                     (19.3)

Подстановка  дает характеристическое уравнение:

.

Корни этого уравнения:

.

При малом затухании  корни будут равны , где - частота колебаний осциллятора с затуханием.

Общее решение получим в виде:

               (19.4)

Из решения видно, что со временем амплитуда гармонических колебаний экспоненциально убывает. Также по экспоненциальному закону будет убывать и энергия осциллятора:

.

Рис.19.2

Функция (19.4) изображена на рисунке 19.2. Значения параметров этой функции: начальная фаза , коэффициент затухания , циклическая частота колебаний . Огибающие функции на рисунке – экспоненты .

Если энергия осциллятора незначительно меняется (на величину ) за время равное периоду колебаний Т, то можем определить новую характеристику осциллятора, называемую добротностью Q, следующим образом:

.           (19.5)

Кроме добротности используют еще одну величину, характеризующую затухание, которая называется логарифмическим декрементом затухания :

Чем выше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

При большом затухании, если  получим решение в виде . Если же  корни характеристического уравнения  будут вещественными. В общем решении

постоянные z1,z2 также будут вещественными числами x1,x2. Эти постоянные интегрирования можно определить из начальных условий. Пусть начальное смещение равно: , а начальная скорость равна нулю: . Тогда общее решение получим в виде

.

Итак, движение тела при  будет апериодическим (непериодическим), система будет релаксировать в состояние с минимумом потенциальной энергии.