Гармонический осциллятор

                При общем анализе движения частицы в потенциальном поле (§11, рис.11.1) мы пришли к выводу о том, что частица с полной энергией Е, равной E2, будет двигаться в ограниченной области пространства x1<=x<=x2. Особый интерес представляет движение с малыми отклонениями от положения равновесия, для которого может быть найдено точное решение.

Любую функцию мы можем разложить в степенной ряд (ряд Тейлора) по малому параметру так, что каждое последующее слагаемое будет меньше предыдущего. В разложении мы можем ограничиться только первыми несколькими, заметно отличающимися от нуля, слагаемыми. Выберем начало координат в точке минимума потенциальной энергии, тогда потенциальная энергия будет равна:

, где .

Первое и второе слагаемое в разложении при нашем выборе начала координат равны нулю, вторую производную в третьем слагаемом обозначим k, тогда потенциальная энергия может быть представлена в виде квадратичной функции координаты:

                Если пренебречь действием неконсервативных сил, то полная энергия частицы будет сохраняться: E=U+Eк=const. Продифференцировав по времени, получим:

.

Скорость частицы в произвольный момент времени , тогда окончательно получим дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее колебательное движение частицы:

                                                          (17.1)

где использовано обозначение .   

Это уравнение называют уравнением гармонического осциллятора (от латинского слова oscillation – качание, раскачивание на качелях).

                Подстановка функции с учетом того, что , дает характеристическое уравнение: . Его решение - . На общее решение дифференциального уравнения

будет накладываться ограничение, поскольку x(t)- вещественная функция:

Числа z и z*- комплексно сопряженные числа, различающиеся знаком перед мнимой частью: .

Для значений  это условие выполняется. Окончательно уравнение движения гармонического осциллятора получим в виде тригонометрической функции, используя формулу Эйлера :

. Итак, координата движущегося тела в параболической потенциальной яме будет меняться со временем по гармоническому закону:

.                              (17.2)

Параметры этой функции имеют следующие названия:

Xo- амплитуда колебаний;

o- циклическая частота колебаний;

- начальная фаза колебаний.

Кроме этих параметров для описания колебаний используем следующие величины: - период колебаний; - частота колебаний.

                Отметим основные свойства гармонического осциллятора:

1)частота колебаний не зависит от их амплитуды;

2)выполняется принцип суперпозиции: если x1 и x2 - решения уравнения (17.1), то их линейная комбинация C1x1+C2x2 - так же решение этого уравнения;

3)средние за период колебаний значения кинетической Eк и потенциальной энергии U равны между собой.

Покажем справедливость последнего утверждения, проведя прямые вычисления:

                Систем в природе, анализ которых приводит в первом приближении к задаче о гармоническом осцилляторе, множество: поплавок (любое плавающее тело) на поверхности воды; тело, висящее на пружинке; колебания заряда конденсатора, параллельно соединенного с катушкой индуктивности; атом в узле кристаллической решетки твердого тела и т.д.