Осевой момент инерции твердого тела

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси z (рис.14.1), проходящей через начало координат O. Момент импульса части тела массы mi, положение которой задается радиус-вектором ri(эта часть находится в плоскости рисунка, ее вектор скорости перпендикулярен плоскости рисунка, в которой лежат все остальные вектора), будет равен:

,

где Ri- кратчайшее расстояние массы mi до оси вращения. Проекция этого вектора на ось z будет равна:

Для проекции момента импульса тела на ось z получим:

где -  момент инерции твердого тела относительно оси z.

Переходя от суммирования к интегрированию после предельного перехода,  для осевого момента инерции получим выражение:

(14.1)

где интегрирование ведется по всему объему тела V.   

Рис.14.1

Момент инерции относительно различных осей вращения будет различен. Найдем связь момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс z', и любой другой оси z, параллельной ей, отстоящей от нее на кратчайшее расстояние а (рис.14.2).

В этом случае связь моментов инерции, определенных относительно этих осей, называют теоремой Штейнера. Воспользовавшись результатом из §12, получим:

Рис.14.2

Итак, получили уравнение, связывающее моменты инерции:

(14.2)

Кроме этого соотношения можно отметить другое полезное соотношение, связывающее моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей . Сначала отметим, что

Умножив на массы и просуммировав, получим:

,

где Io некоторая вспомогательная величина, не имеющая физического содержания, но использование которой, полезно при вычислениях осевых моментов инерции различных тел:

.

Определим моменты инерции некоторых симметричных однородных тел относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс.

1.Шар массы m, радиуса R. Все осевые моменты инерции равны. Тогда для Iz получим:

.

2. Обруч массы m, радиуса R. Ось z – ось симметрии, перпендикулярная плоскости, в которой лежит обруч. Тогда Iz=mR^2, и, поскольку Ix=Iy, а Io=Iz, для осевого момента инерции Ix получим значение:

.

3. Тонкий диск массы m радиуса R. Если ось z перпендикулярна плоскости диска, то

,

 где p- масса диска, отнесенная к его площади. Другие осевые моменты инерции равны:

.

4. Тонкий стержень массы m длины L. Для оси, совпадающей со стержнем момент инерции равен нулю, для двух других осевых моментов инерции получим значения:

,

где p - масса единицы длины стержня.