Закон сохранения момента импульса тела

                Сначала определим момент импульса частицы (материальной точки) следующим образом:

L=pxr,                                                         (12.1)

 

где L - вектор момента импульса частицы в выбранной нами системе координат, r - радиус-вектор частицы, а p - ее импульс. Это определение новой физической величины кажется достаточно формальным, более того – избыточным, поскольку момент импульса однозначно определяется с помощью уже введенных в физику понятий радиус-вектора и импульса. Обоснованность введения момента импульса становится очевидной тогда, когда мы определяем собственные моменты импульса микрочастиц, для которых линейные размеры не могут быть определены и уравнения вида (12.1) теряют смысл.

 Проиллюстрируем определение момента импульса (12.1) несколькими примерами.

 

                1. Момент импульса изолированной частицы. В этом случае траектория  движения нам известна - это прямая, вектор импульса частицы - постоянная величина. На рис.12.1 показаны направления всех векторов при условии, что они образуют правую тройку. Модуль вектора момента импульса равен:

.

Видим, что в этом случае не меняется ни модуль, ни направление вектора момента импульса частицы.

 

Рис.12.1

               

2. Момент импульса равномерно вращающейся частицы. Пусть траектория движения частицы лежит в плоскости xOy и модуль вектора скорости остается при вращении постоянным (рис.12.2). Отметим, что частица может двигаться по такой траектории, если на нее будет действовать центральная сила F.

Поскольку радиус-вектор частицы и вектор ее импульса перпендикулярны, их модули постоянны, то вектор момента импульса L не будет меняться при вращении частицы, а его модуль будет равен: L=r p=r mV.

 

Рис.12.2

               

Для ответа на вопрос когда меняется момент импульса, вычислим для материальной точки производную ее момента импульса по времени:

 

               (12.2)

 

В данной цепочке преобразований векторное произведение скорости частицы на ее импульс всегда равно нулю, так как эти вектора параллельны. Векторное произведение радиус-вектора частицы на вектор силы, действующей на нее, называют моментом силы M. Видим, что момент импульса частицы меняется, если не равен нулю момент результирующей силы, действующей на нее. Во втором из приведенных примеров момент силы равен нулю и момент импульса частицы сохраняется.

                После определения момента импульса одной материальной точки определим момента импульса системы, состоящей из N материальных точек:

 

.                                                               (12.3)

Покажем, что момент импульса замкнутой системы (для простоты, состоящей только из двух материальных точек) сохраняется.

                На рис.12.3 показана система из двух взаимодействующих тел. Силы, действующие на каждое из тел равны по величине и противоположны по направлению (3 закон Ньютона): F12 = - F21. Моменты импульса тел равны:

.

Моменты сил, действующих на тела, равны:

.

Их сумма равна нулю:

.

Но , тогда  и  откуда видно, что момент импульса данной системы сохраняется:  L1+L2=const

                Данный результат можно обобщить для системы из любого числа материальных точек, взаимодействующих друг с другом. Таким образом, для любой замкнутой системы ее момент импульса сохраняется:

 

.                                  (12.4)

 

Это утверждение и отражает закон сохранения момента импульса - один из фундаментальных законов природы, который наряду с законами сохранения импульса и энергии мы можем использовать при решении любой задачи.

                Если система не замкнута, то ее момент импульса меняется и скорость его изменения равна суммарному моменту всех внешних сил, действующих на систему.

Рис.12.3

                Определим связь моментов импульса совокупности из N материальных точек, определенных в двух разных системах отсчета (рис.12.4). Первая система отсчета – произвольная K-система, вторая K'- система центра масс.

 

Рис.12.4

 

               

Радиус-вектор и импульс i-ой материальной точки, определенные в этих двух системах отсчета будут связаны:

.

Тогда момент импульса в системе центра масс будет равен:

 

                (12.5)

 

где P - импульс всей системы материальных точек. Другими словами мы определили “собственный” момент импульса N частиц.

В частности, мы можем определить таким же образом собственный момент импульса тела конечных размеров, разбивая его на большое число малых частей. При этом, однако, самостоятельного значения собственный момент импульса тела не имеет, поскольку полностью определяется радиус-векторами и импульсами частей тела.

Особую важность, как мы отмечали в начале параграфа, данный вопрос приобретает при рассмотрении свойств элементарных частиц. Говорить о форме и размерах элементарных частиц бессмысленно в силу их корпускулярно-волнового дуализма (речь о нем пойдет позже в квантовой физике). Оказывается, однако, что все они обладают собственным моментом импульса, который в данном случае имеет специальное название – спин (от английского to spin – вертеться): L'=S. Одно из свойств спина микрочастицы заключается в том, что невозможно одновременно измерить все три проекции этого вектора. Возможно определение только проекции этого вектора на выделенное направление. Направление для движущейся частицы, например, выделяется направлением ее импульса. Проекция спина на выделенное направление измеряется в единицах постоянной Планка  и обозначается:

 

                                             (12.6)

 

 где J - спиновое квантовое число. Для всех частиц из таблицы 1.1 введения спиновое квантовое число, в частности для электрона, равно 1/2. Говорят, что эти частицы обладают полуцелым спином. Все частицы из таблицы 1.2 (частицы переносящие взаимодействия) обладают целым спином. В частности собственный момент импульса фотона (речь опять же идет о проекции на выделенное направление), несмотря на то, что масса его равна нулю, равен:

.

Спиновое квантовое число для него равно единице.