Потенциальная энергия/гравитация

В общем случае работа силы, совершаемая при перемещении тела, зависит от того, по какой траектории тело переходит из точки 1 в точку 2. Существуют, однако, силы, для которых работа при перемещении тела из одной точки в другую будет определяться только координатами этих точек, а от траектории движения не зависит. Такие силы называются консервативными. Работу консервативной силы мы можем определить, как убыль некоторой новой функции координат, называемой потенциальной энергией:

.                                  (10.1)

В качестве примера консервативных сил рассмотрим силы гравитационного взаимодействия двух сферически симметричных тел массами m и M. При условии M >> m  можно считать, что центр масс системы совпадает с центром тела массы M. Поместим начало координат в центре тела М (рис.10.1). Тогда сила, действующая на тело массы m, будет равна:

.                              (10.2)

Рис.10.1

Работа этой силы при перемещении тела из точки, определяемой радиус-вектором r1 в точку, определяемую радиус-вектором r2, будет равна:

Потенциальная энергия тела массы m определяется с точностью до произвольной постоянной в виде:

.

При условии r->бескон. взаимодействие между телами исчезает и наиболее естественно принять потенциальную энергию тела стремящейся к нулю. Тогда неизвестная постоянная тоже обращается в ноль, а потенциальная энергия тела массы m будет равна:

.                                          (10.3)

Если для рассмотренного выше случая использовать полевую концепцию, упомянутую в восьмом параграфе, то мы можем сказать, что тело массы m находится в гравитационном поле тела массы M. В данном случае можем считать тело массы m – пробным телом, используемым для изучения гравитационного поля тела массы M.

Для характеристики этого поля можно ввести скалярную функцию, называемую потенциалом и определяемую следующим образом:

                             (10.4)

Поле, которое мы получили, является сферически симметричным, потенциал зависит только от удаления от центра поля и не зависит от двух других сферических координат -  и . Такое поле еще называют центральным.

Кроме скалярного потенциала, для характеристики гравитационного поля вводят векторную величину, равную отношению силы, действующей на пробное тело к его массе:

.                        (10.5)

Вектор g характеризует напряженность гравитационного поля. Еще раз отметим, что данное выражение справедливо, если источник поля находится в начале координат.

Между скалярной и векторной характеристикой поля есть связь. Найдем ее. При перемещении тела на малое расстояние в произвольном направлении в потенциальном поле, сила этого поля совершает работу, которая равна убыли потенциальной энергии:

Из одной точки пространства в другую мы можем перейти по пути, который состоит из трех отрезков. Первый отрезок – движение вдоль оси x, второй – вдоль оси y, третий – вдоль оси z. Тогда изменение потенциальной энергии может быть определено следующим образом:

.

Производная функции, зависящей от нескольких аргументов по одному из них, при условии, что остальные аргументы считаются постоянными величинами, называется частной производной и обозначается следующим образом:

.

Используя эти обозначения, можем определить работу консервативной силы:

.

Сравнивая эти два выражения для работы, получим связь консервативной силы с потенциальной энергией:

.

Вектор в скобках правой части уравнения называют градиентом потенциальной энергии. Эта векторная величина может быть определена для любой скалярной функции координат. Используются различные обозначения градиента:

                          (10.6)

где символ - дифференциальный оператор, его называют оператором набла, или оператором Гамильтона:

.                         (10.7)

Градиент потенциальной энергии определяет направление, вдоль которого потенциальная энергия меняется наиболее быстро. Вектор градиента потенциальной энергии направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, которая задается уравнением , в сторону возрастания потенциальной энергии.

                Возвращаясь к гравитационному полю, рассмотренному выше, можем определить связь потенциала Ф с векторной характеристикой поля g. В сферической системе координат градиент потенциала равен:

При вычислениях мы учли, что Ф от координат  и  не зависит и соответствующие частные производные равны нулю. Итак, для гравитационного поля связь его скалярной и векторной характеристик определяется соотношением:

.                                                        (10.8)

Отметим, что с любым скалярным полем можно связать векторное поле его градиента. Например, если мы имеем неравномерное распределение температуры тела T(x,y,z), то антиградиент температуры в каждой точке будет определять направление теплового потока; если для газа в неравновесном состоянии определить давление в каждой точке p(x,y,z), то антиградиент давления определит направление вектора ускорения частиц газа (при отсутствии внешних сил).

В заключение рассмотрим еще один важный пример потенциального поля – однородное поле. Однородным называют такое поле, в каждой точке которого на тело, оказавшееся в нем, будет действовать постоянная сила. Пример однородного поля – гравитационное поле Земли в объеме, характеристический размер которого много меньше радиуса Земли. Если у поверхности Земли выберем декартову систему координат, в которой ось z перпендикулярна поверхности Земли, то потенциальная энергия тела массой m в любой точке будет определяться функцией:

Постоянная  интегрирования C может выбираться произвольно, но удобнее выбрать ее равной нулю в начале координат при z=0.

Сила, действующая на тело, будет равна:

.

Векторная характеристика этого однородного поля будет представлять собой постоянный вектор g. Его модуль – ускорение свободного падения у поверхности Земли:

,

Где МЗ – масса Земли, RЗ – радиус Земли.

Найдем потенциальную энергию системы из N взаимодействующих тел. Для двух тел с массами m1 и m2 потенциальная энергия их взаимодействия (на примере гравитационного) будет равна:

,

где Ф1 - потенциал поля, созданного телом массой m2 в точке, где находится тело  массой m1, а Ф2- потенциал поля, созданного телом массой m1 в точке, где находится тело  массой m2. Последнее выражение – симметризованная форма записи полной потенциальной энергии системы из двух тел. Обобщая на случай системы из N тел, определим потенциальную энергию этой системы в виде:

,                                            (10.9)

где Фi- потенциал поля в точке, где находится тело массой mi, создаваемый всеми телами, кроме i-го тела.