Кинематика вращательного движения

Вращательное движение тела – движение, при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Для описания движения различных точек вращающегося тела нам придется задать скорость каждой из них. Возможен ли более универсальный способ описания подобного движения? Поскольку при вращении тела имеется выделенное осью вращения направление, будем описывать его в цилиндрической системе координат (рис.1.3). При вращательном движении материальной точки  будет менять только одна координата – , а координаты p и z будут оставаться неизменными (рис4.1).

Рис.4.1

Угловую скорость определяем как предел отношения угла поворота к промежутку времени, в течение которого проходил поворот, при стремлении его к нулю:

.                                     (4.1)

С угловой скоростью мы можем связать вектор , направленный по оси вращения. Обоснуем эту возможность.

Вначале покажем, что с поворотом на конечный угол никакой вектор сопоставить нельзя. Действительно, если связать с поворотом на конечный угол вектор, направленный по оси вращения (такой вектор называют аксиальным вектором), то два поворота на конечные углы вокруг разных осей нельзя будет связать с вектором, равным сумме векторов, характеризующих каждое из двух вращений. Для доказательства рассмотрим вращение точки, которая вначале находится на оси Ox. Сначала повернем ее на угол Pi/2 вокруг оси z. Свяжем это вращение с вектором 1. После этого вращения точка окажется на оси Oy. Затем, при вращении вокруг оси x на угол Pi/2, она окажется в точке на оси Oz. Это вращение свяжем с вектором 2. Если будем характеризовать результирующее вращение, как векторную сумму двух вращений, то модуль вектора                            =1+2 будет равен Pi/sqrt2. Для того, чтобы исходная точка  оказалась на  оси Oz при вращении вокруг задаваемой вектором  оси направленной в плоскости xOz, модуль этого вектора должен быть равен Pi. Итак, с вращением на конечный угол связать аксиальный вектор нам не удалось.

Рассмотрим последовательные повороты на бесконечно малые углы d1 и                  d2 вокруг  двух осей, пересекающихся в одной точке. Поместим в этой точке начало координат, тогда dr1=d1xr. Вектор перемещения после второго поворота будет равен dr2=d2x(r+dr1)=d2xr. Бесконечно малым слагаемым второго порядка пренебрегаем. Результирующий поворот можно характеризовать вектором                     d=d1+d2, поскольку в этом случае вектора перемещений dr1 и dr2 - представляют собой отрезки прямой, а результирующее перемещение равно:

.

Поскольку вектор d направлен по оси вращения, мы можем определить и аксиальный вектор угловой скорости = (рис.4.2). Связь линейной и угловой скорости тела определяется векторным произведением v=xr. Действительно, его модуль равен v=rsina, а rsina=p и v=p. С другой стороны . Итак, нашли связь векторов и модулей линейной и угловой скорости

Время, за которое происходит один оборот, называем периодом обращения Т. При равномерном вращении T=2Pi/. Кроме угловой скорости определяем частоту вращения . Для неравномерных вращений определяем вектор углового ускорения:

Нормальное ускорение при вращении по окружности будет равно:

В наиболее общей форме можно определить вектор нормального ускорения тела с помощью двойного векторного произведения: .

Тангенциальное ускорение при вращении по окружности можно связать с угловым ускорением:

Или в  векторной форме .

В заключение определим вектор скорости и ускорения материальной точки во вращающейся системе координат. Эта проблема становится актуальной при решении задач в системе координат, связанной с Землей тогда, когда пренебречь ее вращением нельзя.

Пусть K и K' системы отсчета имеют общее начало координат и совпадающие оси z и z'. K' система вращается вокруг оси z с угловой скоростью . В этом случае радиус-вектор какой-либо точки в пространстве в этих системах будет одинаков. Если тело (материальная точка) движется в K' системе со скоростью v', то за время dt ее перемещение в K системе будет равно . Связь скоростей тела в этих системах будет определяться выражением . Второе слагаемое в этом уравнении иллюстрирует рис.4.2. Изменение вектора скорости v за время dt будет определяться изменением вектора v' за это время, поворотом вектора v' на угол d=dt и изменением радиус-вектора dr:

.

Окончательно, связь ускорений тела в K и K' системах отсчета получим в виде:

.                             (4.6)

Последнее слагаемое в (4.6) определяет вектор направленный перпендикулярно оси вращения к ней. Эту составляющую вектора a называют осестремительным ускорением. При движении тела в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и выборе начала системы координат в этой плоскости это ускорение называют центростремительным ускорением.