Ускорение тела.

Для характеристики изменения скорости тела во времени определим ускорение тела:

Поскольку вектор скорости в каждый момент времени равен произведению модуля  на единичный вектор , мы можем определить вектор ускорения в виде суммы двух векторов. Первый из них, направленный по касательной к траектории, называется тангенциальным ускорением.

Для определения второго слагаемого необходимо определить производную единичного вектора по времени. Вначале отметим, что этот вектор будет перпендикулярен вектору . Действительно, дифференцируя скалярное произведение *=1, получим . Поскольку скалярное произведение векторов  и d/dt равно нулю, они взаимно перпендикулярны. Далее определим вектор (t1) в момент времени t1, вектор (t2)  в момент времени t2, найдем их разность, предварительно перенеся вектор (t2)  в начало вектора (t1). На рис.3.1 R1– радиус кривизны траектории в момент времени t1, R2 – в момент времени t2.

Рис.3.1

Радиус кривизны траектории в данный момент времени (для определенности R1) – радиус окружности, совпадающей с траекторией в окрестностях точки 1. При движении тела по траектории на промежутке времени Dt=t2-t1, центр кривизны траектории (центр вписанной окружности) перемещается по пунктирной кривой (рис.3.1), называемой эволютой.

При условии Dt->0первая и вторая точки на траектории оказываются на окружности с радиусом R1. В этом случае, тело за бесконечно малое время dt поворачивается по окружности радиуса R1 на бесконечно малый угол d - рис.3.2. Не забывайте об условности этого рисунка, изобразить бесконечно малый поворот невозможно. За время dt единичный вектор  также поворачивается на угол d. Поскольку модуль вектора  равен 1, модуль вектора d будет равен d, а направлен он будет перпендикулярно касательной к траектории. В тоже время:

.

Тогда для производной вектора  по времени получим:

,

где n – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной. Окончательно, второе слагаемое вектора полного ускорения (назовем его нормальным ускорением) будет равно:

Рис.3.2.

Вектор нормального ускорения направлен к центру кривизны траектории в данной ее точке.

Полное ускорение тела:

мы определили для определенного момента времени t1 в системе координат связанной с траекторией движения тела.

Если нормальное ускорение тела равно нулю, то траектория его движется – прямая линия. Если тангенциальное ускорение равно нулю, то скорость по модулю не меняется, траектория же может представлять собой любую кривую.

Зная вектор скорости и ускорения тела в какой-то момент времени, мы можем найти радиус кривизны траектории в данный момент времени. Для этого определим модуль векторного произведения ускорения и скорости:

.

Тогда радиус кривизны траектории будет равен:

В заключение найдем связь между ускорениями тела, определенными в двух системах отсчета K и K' (рис.2.3). Связь скоростей тела в этих системах дается уравнением (2.5). Дифференцируя его по времени получим

где a0 - ускорение K' системы относительно K системы отсчета.