Пусть нам известна траектория движения материальной точки. Это значит, что нам известна зависимость r(t). Рассмотрим для простоты случай, когда траектория движения лежит в одной плоскости (рис 3.1). В этом случае декартову систему координат можно выбрать так, чтобы одна из координат, например z, не менялась бы, примем ее равной нулю, траектория в этом случае будет лежать в плоскости xOy.
В момент времени t1 радиус-вектор точки равнялся r(t1), в момент времени t2 - r(t2). За время Dt=t2-t1 радиус-вектор изменился на величину Dr=r(t2)-r(t1). Это изменение радиус-вектора материальной точки определяет вектор ее перемещения за время t.
Рис.3.1
Определим среднюю скорость тела на промежутке времени Dt следующим образом:
v=Dr/Dt.
Если материальная точка движется равномерно и прямолинейно, то определенная таким образом средняя скорость полностью описывает все особенности такого движения.
В произвольном же случае видно, что данный вектор v никак не связан с траекторией движения тела. Сделав предельный переход, мы можем определить скорость тела в определенный момент времени (в данном случае в момент времени t1):
. (2.2)
Таким образом, мы определили вектор скорости тела в определенный момент времени, как производную радиус-вектора тела по времени. Приведены три обозначения данной производной, которые используются в литературе. Видно, что определенный таким образом вектор скорости однозначно связан с траекторией движения тела - он направлен по касательной к ней. При движении тела вектор скорости может меняться как по модулю, так и по направлению.
В декартовой системе координат:
(2.3)
Вектор Dr определяет вектор перемещения тела за промежуток времени Dt, путь же, проходимый телом за этот промежуток времени s, будет определяться длиной кривой - участка траектории. Только при прямолинейном движении модуль вектора перемещения будет равен пройденному телом пути, при условии, что направление вектора скорости не меняется. Если мы возьмем очень малый участок произвольной траектории, то он будет представлять собой отрезок прямой, на котором тело движется равномерно и прямолинейно.
Для модуля вектора скорости можем записать:
,
так как 
. Откуда видно, что путь, пройденный телом, определяется только модулем вектора скорости и временем движения:
ds=vdt.
Пусть модуль вектора скорости меняется со временем так, как показано на рис.2.2.
Рис.2.2
.jpg)
Для определения пути, пройденного телом за конечный промежуток времени Dt разобьем его на N промежутков Dti:
.
Пути, пройденные за эти промежутки времени:
.
Полный путь, пройденный телом, будет равен их сумме:
.
В тоже время, приближенно, путь на i-том участке можно определить как:
, тогда пройденный путь будет примерно равен:
.
Точное значение пройденного пути получим после предельного перехода:
. (2.4)
Соответствующий предел называется определенным интегралом.
Мы определили скорость тела в некоторой системе отсчета. Найдем связь между векторами скоростей тела (материальной точки), определенных в двух разных системах отсчета K и K' (рис.2.3). В какой-то момент времени положение тела в этих системах отсчета определяется радиус-векторами r и r'. Из рисунка видно, что r=r0+r'. Если K' система и тело движутся, то после дифференцирования по времени получим:
v=v0+v'. (2.5)
Если в начало K' системы поместить второе тело, то уравнение (2.5) позволит нам определить скорость первого тела по отношению ко второму (относительная скорость): v'=v-v0.
Рис.2.3
.jpg)
Вектор скорости материальной точки в K системе равен ее вектору скорости в K' системе плюс вектор скорости K' системы, определенный в K системе отсчета.
В заключение, определим среднюю скорость движения тела (среднее значение модуля вектора скорости) на промежутке времени Dt. Она равна пути, пройденному телом, деленному на все время движения:
. (2.6)
Аналогично данному определению средней скорости, мы можем определить среднее значение любой физической величины зависящей от времени:
. (2.7)
В частности, используя общее определение (2.7) для нахождения среднего значения вектора скорости, получим выражение (2.1).
