Обозначим через 
число появлений события 
в 
независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления этого события постоянна и равна
(соответственно вероятность непоявления также постоянна и равна 
).
Тогда, если изменяется 
от до 
, то дробь 
изменяется от 
до 
.
Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать в виде:
или
.
Теперь поставим задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты 
от постоянной вероятности не превышает заданного числа 
, то есть необходимо найти вероятность осуществления неравенства
.
Преобразуем последнее неравенство, заменив знак модуля двойным неравенством и затем приведя к общему знаменателю:
,
.
Умножим все неравенство на выражение 
:
.
Теперь, если обозначить 
, то преобразованная теорема Лапласа может быть записана в виде:
Заменив двойное неравенство в левой части последней формулы на исходное выражение , окончательно получим:
.
Вывод: вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности не превысит заданного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа с аргументом 
.
