Число степеней свободы – это количество независимых геометрических параметров, позволяющих определить положение любой точки тела при его перемещениях. Не закрепленная точка на плоскости имеет 2 степени свободы, а незакрепленное абсолютно твердое тело (диск) – 3.
|
2 степени свободы |
|
3 степени свободы |
Любое деформированное тело обладает бесконечным числом степеней свободы. Однако при расчете по недеформированной схеме, при выполнении всех гипотез строительной механики, при составлении уравнений равновесия все элементы можно считать абсолютно жесткими.
Заметим, что уравнения совместности деформации составляются по деформированной схеме. Таким образом, число степеней свободы зависит от того, какие допущения положены в основу расчета.
Формула Чебышева
Для анализа механизма была предложена формула, учитывающая соединения элементов между собой или землей (основанием)
|
1 степень свободы |
|
2 степени свободы |
Если система состоит из Д дисков незакрепленных и несоединенных между собой, то она имеет 3Д степеней свободы. Каждый шарнир, соединяющий элементы между собой или прикрепляющий их к земле, уменьшает число степеней свободы на 2, а Ш шарниров – на 2Ш. Каждая одиночная связь (стержень) уменьшает число степеней свободы на 1 , а С0 стержней на С0.
С учетом сказанного получаем:
W=3Д-2Ш- С0 – формула Чебышева (1)
Ш – кол-во шарниров(для кратных учитывается их кратность)
Замечания:
1. Для систем, имеющих избыточное количество связей W, будет отрицательным. Поэтому часто для неподвижных систем вместо числа степеней свободы используют термин «степень изменяемости», которую также можно найти по формуле Чебышева.
2. Формула Чебышева не учитывает жесткие соединения элементов. Поэтому если имеется жесткая или скользящая заделка, их заменяют двумя или тремя стержнями соответственно.
3. Необходимо следить, чтобы каждая связь и диск были учтены только один раз.
|
1 2 3 |
Например, шарнирно-подвижную опору можно изобразить так:
В первых двух случаях, ее можно включить в количество Ш, а в третьем в С0.
4, Каждый элемент должен быть внутренне статически определим, т.е. не содержать замкнутых контуров. Тогда степень изменяемости получится равной степени статической неопределимости с обратным знаком
|
W=3*2-2*1-7=-3 |
Формулы для расчета для расчета W (степени изменяемости ) для различных систем.
Формула Чебышева м.б. дополнена слагаемым, учитывающим жесткое соединение элементов. Каждое такое соединение устраняет три степени свободы
W=3Д-3Ж-2Ш- С0 , где Ж- количество жестких соединений (включая заделки, кроме скользящей). Как и шарниры, жесткие соединения м.б. простыми и кратными.
Кратность определяется так
Ж = n - 1, n – число соединенных элементов
|
4 элемента Ж = 3
|
|
2 элемента Ж = 3
|
|
Ж = 3 |
|
Ж = 1 |
|
К = 2 Ш = 3 W = 3-3*2 = -3
|
Для рам, содержащих замкнутые контуры, удобна следующая формула:
W = Ш - 3К, где Ш – кол-во шарниров,
К- кол-во замкнутых контуров с учетом оснований.
Замечание : в кол-во шарниров Ш включаются шарниры принадлежащие опорным стержням, т.к. нет отдельного слагаемого их учитывающего.
Для ферм удобна следующая формула:
W=2У- С0 , где У – кол-во узлов фермы, непосредственно не связанных с землей, С0 - кол-во одиночных связей, к которым относятся стержни самой
фермы и опоры с землей.
Данная формула для ферм получена исходя из следующих рассуждении:
Каждый узел (шарнир) имеет на плоскости две степени свободы, соединение двух узлов стержнем уменьшает число степеней свободы на единицу.
|
У=4 С0 =8 W=2*4-8=0 |
|
У=5 С0 =10 W=2*5-10=0
|
