В дифференциальном исчислении решается задача по данной функции f(x) найти её производную(дифференциал)
В интегральном счилсении решается обратная задача, найти F(x), зная её производную F'(x)=f(x) (или дефференциал)
Опр Ф-я F(x) наз первообразной ф-ей f(x) на (a;b) если для любого x принадлежащего (a;b), выполняется равенство F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx
Теорема1 Если F(x) первообразная для ф-ии f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x), задается формулой F(x)+C
Док-во: (F(x)+C)'=F'(x)+C=f(x)
Пусть D(x) - некоторая дургая отличная от F(x) - первоообразной f(x)
D'(x)=f(x), тогда для любого x [ (a;b) => D(x)-F(x)=D'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0=> D(x)-F(x)=C=>D(x)=F(x) чтд.
Опр Множество всех первообразных F(x)+C ф-ии f(x) наз НИ от f(x)
|f(x)dx=F(x)+C, где f(x)dx -подынтегральное выражение, f(x)- подынтегральная ф-я x- переменная интегрирования
Опр Операцией нахождения неопределенного интеграла от ф-ии наз интегрирование этой ф-ии
Геометрически НИ представляет собой семейство "параллельних" кривых, где константа задает одну из кривых (интегральная кривая)
Теорема 2 Всякая непрерывная на (a;b) ф-я имеет на этом промежутке первообразную => неопределенный интеграл
СВ-ВА
F'(x)=f(x)
|f(x)dx=F(x)+C
dy=f'(x)dx
1) Дефференциал от НИ равен подынтегральному выражению, а производная равна подинтегральной ф-ии
d(|f(x)dx)=f(x)dx
(|f(x)dx)'=f(x)
Д-во
d(|f(x)dx)=d(F(x)+C)=(F(x)+C)'dx=F'(x)dx=f(x)dx
(|f(x)dx)'=(F(x)+C)'=F'(x)=f(x)
Благодаря этому свойству правильность интегрирования можно проверить дифференцированием
2) НИ от дифференциала некоторой ф-и равен сумме этой ф-ии и произвольной постоянной
|dF(x)=F'(x)+C
Д-во
|dF(x)=|F'(x)dx=|f(x)dx=F(x)+C чтд
3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
|kf(x)dx=k|f(x)dx
Д-во
|kf(x)dx=|kF'(x)dx=|(kF(x))'dx=|d(kF(x))=kF(x)+C1= k(F(x)+C)=k|f(x)dx чтд
4) НИ от алгебраической суммы(разности) конечного числа непрерывных ф-ий равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых ф-ий
|(f(x)+-g(x))dx=|f(x)dx+-|g(x)dx
Д-во
Песть F'(x)=f(x) G'(x)=g(x)
тогда |(f(x)+-g(x))dx=|(F'(x)+-G'(x))dx= |(F(x)+-G(x))'dx=
=|d(F(x)+-G(x))=F(x)+-Q(x)+C1+C2=
=(F(x)+C1)+-(G(x)+C2)= |f(x)dx+-|g(x)dx чтд
5) Инвариантность формулы интегрирования
Если |f(x)dx=F(x)+C, то |f(u)du=F(u)+C, где u=q(x)-производная имеющая непрерывную производную
