Рассмотрим модель спутника. Предполагается что жесткий, трение отсутствует и что он вращается относительно вертикальной оси. Вращающий момент, прикладываемый к спутнику создается двигателями. Если вкл-ся 2 двигателя угол θ уменьшается, другая пара двигателей – увеличивается.

Момент τ(t) – вход системы, θ(t) – выход.

Тогда, поскольку трение о воздух отсутствует, можно записать , где J – момент инерции спутника. В  этом случае ПФ  

Рассмотрим разомкнутую систему управления спутником, предназначенную для поддержания его заданного углового положения θ путем включения двигателей. Модель системы описывается уравнением , τ – момент развиваемый двигателями, J- момент инерции спутника, u – нормированный момент.

В соответствии с системой ур-ий  модель спутника может быть представлена в виде (в разомкнутом состоянии): . Предполагается что двигатели развивают постоянную тягу, т.е. u(t)=±u. Для одной пары двигателей u(t)= – u, при этом угол уменьшается. Для другой u(t)=u.

Рассмотрим случай когда u(t)= – u. Исключая из уравнений время t, разделив второе уравнение на первое, получим ДУ фазовой траектории: .Или . Проинтегрировав

С1- пост. интегрирования, определяемая из н.у.

Т.о. на фазовой плоскости получим семейство парабол:

При u(t)=u решение , где с2 также определяется из н.у.

Рассмотрим замкнутую систему управления спутником с единичной ООС.

Система предназначена для поддержания углового положения θ=0 с учетом измеряемых значений угла θ. Если θ<>0 соответствующие двигатели включаются, стремясь вернуть угол к 0. Переключение u(t) происходит при x1=0 поэтому линия x1=0 называется линией переключения. Типичная траектория движения системы. Из рисунка видно, что возникают незатухающие колебания. Система управления с такой динамикой неприемлема.

Рассмотрим систему управления спутником с ОС по скорости. Информацию об угловой скорости спутника содержит выходной сигнал гироскопического датчика с коэффициентом усиления а.

Вх. Сигнал спутника также принимает значения ±u и траектории движения объекта на фазовой плоскости являются параболами. Однако переключение происходит когда сигнал на входе реле равен 0, то есть . Это уравнение определяет линию переключения – прямую с наклоном .

Динамика системы значительно улучшается. Точка равновесия в начале координат теперь является асимптотически устойчивой.

В системах, содержащих релейную характеристику может возникать особый вид движения называемый «дребезгом».

Если наклон линии переключения является малым, фазовая траектория «скользит» вдоль линии переключения к началу координат. Это явление известно как «скользящий режим».