16. Асимптоты кривой и их нахождение. Пример.

Классификация асимптот

1. Вертикальные асимптоты.
2. Горизонтальные асимптоты.
3. Наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты

Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a.

Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов  или  равен бесконечности (+∞ или -∞). 
Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты. 
Пример 2. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции . 
Решение. Видим, что y→∞, если x→1, точнее , то есть прямая x=1 является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.

Горизонтальные асимптоты

Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение y=A. 
Если прямая y=A является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), то . 
Пример 3. Найти горизонтальные асимптоты кривой . 
Решение. Найдем , то есть y→0 при x→+∞ и при x→-∞, значит прямая y=0 – горизонтальная асимптота данной кривой.

Наклонные асимптоты

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты  или
. (1) 
Разделим обе части этого равенства на x: , откуда 
. (2) 
Теперь из (1): 
. (3) 
Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).

Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции . 
Решение. По формуле (2) найдем . 
Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты .

Пример 5. Найти асимптоты кривой . 
Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как  при . Ищем наклонные: 
. 
Таким образом, кривая асимптот не имеет.

Пример 6. Найти асимптоты кривой . 
Решение. Поскольку y→∞ при x→0 и при x→4, то прямые x=0 и x=4 являются вертикальными асимптотами. Так как , то y=2 – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать “b” не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).